12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση  f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R.

Αν ισχύει  {f^2}\left( x \right) = 2{e^x}f\left( x \right) - 1,\,\,\,\forall x \ge 0

Α. Να αποδειχτεί ότι  f\left( 0 \right) = 1

Β. Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) \ne  - \infty \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) < 1

Γ. Να αποδειχτεί ότι  f\left( x \right) \le {e^x},\,\,\,\forall x \ge 0

Δ. Να αποδειχτεί ότι   f\left( x \right) = {e^x} - \sqrt {{e^{2x}} - 1} ,\,\,\,\forall x \ge 0

Ε. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της  f.