13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Δίνεται η συνάρτηση f:\left( {0, + \infty } \right) \to R . Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {{e^\alpha }} \right){x^3} - \alpha {x^2} - {e^\alpha }x + e + 1}}{{x - 1}},\,\,\,\forall \alpha  \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) = \ln x + x - e - 1,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα

Γ.   Αν για την συνάρτηση g:R \to \left( {0, + \infty } \right)  ισχύει  \ln g\left( x \right) + g\left( x \right) = x,\,\,\,\forall x \in R  να αποδειχτεί ότι

   1.   g  1-1

   2.   {g^{ - 1}}\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)