14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός z με  Im(z)≠-2  και ισχύει   

    (z+2i)2-α(z+2i)+1=0, α∈R

Α.   Δείξτε ότι   (z+2i)∉R

Β.   Δείξτε ότι   α∈(-2,2) και  Re(z)=frac{alpha }{2}

Γ.   Δείξτε ότι   |z+2i|=1

Δ.   Αν  {left( {z + 2i} right)^nu } = {left( {2 - zi} right)^nu },,,,nu in {rm N}  να αποδείξετε ότι  nu = 4rho ,,,,rho in {rm N}.

 

 

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Για τους μιγαδικούς  z , w  ισχύει  z w = z2 - 2iz + 4.

Αν   (w+2i)∈R  και  z∉R

Α.   Nα αποδειχτούν:   - 4 < w+2i < 4  και  |z|=2

B.   Να λυθούν οι εξισώσεις:

   1.   z = w

   2.   z = -w  

Γ.   Να υπολογιστεί το μέγιστο και το ελάχιστο της απόστασης των εικόνων των  z , w.

 

υπόδειξη

1. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός z με  {{rm Re}nolimits} left( {{z^2}} right) = - 1  και ο μιγαδικός w που η εικόνα του διαγράφει την γραμμή με εξίσωση  frac{{{x^2}}}{{left| {z + frac{2}{z}} right|}} + frac{{{y^2}}}{{left| z right|}} = 1.

A. Να δειχτεί ότι:  z in Cbackslash left{ {0,sqrt 2 cdot i, - sqrt 2 cdot i} right}

Β. Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ισοσκελής υπερβολή.

Γ. Αν επιπλέον το  left| z right|  είναι σταθερό να αποδειχτεί ότι:

    1. ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι κύκλος του οποίου να βρεθεί η ακτίνα.

    2.  left| {{w^2} + overline z ,,i} right| = sqrt {2{{rm Re}nolimits} left( {{{left| z right|}^2} - z,{w^2},i} right)}

12. Γ΄Λυκείου/Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Αν για τους μιγαδικούς  {z_1},{z_2}  ισχύει  {left| {{z_1}} right|^2} + {left| {{z_2}} right|^2} = {left| {{z_1} + {z_2}} right|^2}

A.   Να αποδειχτεί ότι   left| {{z_1} + {z_2}} right| = left| {{z_1} - {z_2}} right|

Β.   Να αποδειχτεί ότι   frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} in {rm I},,,,,{z_2} ne 0

Γ.   Αν επιπλέον ισχύουν  left| {{z_1} + i} right| = 1,,,kappa alpha iota ,,,left| {{z_2} + i} right| = 1  να αποδειχτούν:

      1.   {{rm Re}nolimits} left( {{z_1}} right) = - {{rm Re}nolimits} left( {{z_2}} right),

      2.   {{rm Im}nolimits} left( {{z_1}} right) + {{rm Im}nolimits} left( {{z_2}} right) + 2 = 0

11. Γ΄Λυκείου/Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός  z  με  {left( {z - 3i} right)^4}{left( {overline z + 3i} right)^2} = - 64i

Α.   Να αποδειχτεί ότι η εικόνα Μ του z ανήκει σε κύκλο C με κέντρο  {rm K}left( {0,3} right)  και ακτίνα  rho = 2

Β.   Αν   {{rm Re}nolimits} left( z right) > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  z = sqrt 2 + left( {3 - sqrt 2 } right)i

   2.   Αν  {left( {z - 3i} right)^nu } in R,,,,nu in {rm N}  να δειχτεί ότι  nu = 4kappa ,,,,kappa in {rm N}

10. Γ΄Λυκείου/Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός  z = frac{3}{{alpha + 3i}},,,,alpha in R .

Α.   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ του z.

Β.   Να δείξετε ότι:  left| {2z + i} right| = 1 

Γ.   Αν  v = 2z + i + frac{1}{{2z + i}}  να δειχτεί ότι   v in R,,,kappa alpha iota ,,, - 2 le v le 2 .

Δ.   Αν  w = frac{3}{{beta + 3i}},,,,beta in R,,,kappa alpha iota ,,,{{rm Re}nolimits} left( {zleft( { zlimits^ - - wlimits^ - } right)} right) = 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  {left| z right|^2} + {left| {z - w} right|^2} = {left| w right|^2}

   2.   Να αποδειχτεί ότι  {{rm Re}nolimits} left( {frac{w}{z}} right) = 1

   3.   Να υπολογιστεί ο  w.

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνονται οι  z,w in C   και ισχύουν τα εξής: 
                  z + frac{1}{w} = 2eta mu theta

                  frac{z}{w} = sigma upsilon {nu ^2}theta ,,,,theta in left[ { - frac{pi }{4},frac{pi }{4}} right]

                  {{rm Im}nolimits} left( {{textstyle{1 over w}}} right) le 0

Α.   Να υπολογιστούν οι  z,w

Β.   Να υπολογιστούν τα μέτρα left| z right|,,,left| w right|

Γ.   Να βρεθεί η γραμμή στην οποία κινείται η εικόνα του  z.

Δ.   Να δειχτεί ότι  left| {z - w} right| le frac{{sqrt 2 }}{2} .

Ε.   Να αποδειχτούν:

      1.   left| {z - 1} right|,,left| w right| = left| {overline w - 1} right|

      2.   left| {w - i} right|,, + ,,left| {zw - i} right| ge left| {w - 1} right|

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός     z = ln x + i cdot ln left( {x + 1} right),,,,x > 0

Α.   Να βρεθούν οι τιμές του x  αν z in {rm I}

Β.   Να δειχτεί ότι   z notin R,,,,forall x > 0

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:  {left| z right|^2} = 2ln x cdot ln left( {{x^2} + x} right) + 2{ln ^2}x,,,,x in left( {0,1} right).

Δ.   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για κάθε x > 0.

7. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνονται οι μιγαδικοί  z,w  ώστε να ισχύει: overline z + w = zoverline w .

A.    Να αποδειχτούν

      1.   {{rm Re}nolimits} left( {z + w} right) = {{rm Re}nolimits} left( {zoverline w } right)

      2.   {{rm Im}nolimits} left( {z - w} right) + {{rm Im}nolimits} left( {zoverline w } right) = 0

      3.   {{rm Im}nolimits} left( {left( {z + 1} right)left( {overline w + 1} right)} right) = 0

B.   Αν ισχύει    left| w right| = 1 + left| {frac{w}{z}} right|   να δειχτεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες των  overline z ,w  είναι ομμόροπες.

Γ.   Αν ισχύει  left| w right| le left| z right|    να δειχτεί ότι  left| w right| le 2