Δίνεται ο μιγαδικός z με Im(z)≠-2 και ισχύει
(z+2i)2-α(z+2i)+1=0, α∈R
Α. Δείξτε ότι (z+2i)∉R
Β. Δείξτε ότι α∈(-2,2) και Re(z)=
Γ. Δείξτε ότι |z+2i|=1
Δ. Αν να αποδείξετε ότι
.
Δίνεται ο μιγαδικός z με Im(z)≠-2 και ισχύει
(z+2i)2-α(z+2i)+1=0, α∈R
Α. Δείξτε ότι (z+2i)∉R
Β. Δείξτε ότι α∈(-2,2) και Re(z)=
Γ. Δείξτε ότι |z+2i|=1
Δ. Αν να αποδείξετε ότι
.
Για τους μιγαδικούς z , w ισχύει z w = z2 - 2iz + 4.
Αν (w+2i)∈R και z∉R
Α. Nα αποδειχτούν: - 4 < w+2i < 4 και |z|=2
B. Να λυθούν οι εξισώσεις:
1. z = w
2. z = -w
Γ. Να υπολογιστεί το μέγιστο και το ελάχιστο της απόστασης των εικόνων των z , w.
υπόδειξη
Δίνεται ο μιγαδικός z με και ο μιγαδικός w που η εικόνα του διαγράφει την γραμμή με εξίσωση
.
A. Να δειχτεί ότι:
Β. Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ισοσκελής υπερβολή.
Γ. Αν επιπλέον το είναι σταθερό να αποδειχτεί ότι:
1. ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι κύκλος του οποίου να βρεθεί η ακτίνα.
2.
Αν για τους μιγαδικούς ισχύει
A. Να αποδειχτεί ότι
Β. Να αποδειχτεί ότι
Γ. Αν επιπλέον ισχύουν να αποδειχτούν:
1.
2.
Δίνεται ο μιγαδικός με
Α. Να αποδειχτεί ότι η εικόνα Μ του ανήκει σε κύκλο C με κέντρο
και ακτίνα
Β. Αν
1. Να αποδειχτεί ότι
2. Αν να δειχτεί ότι
Δίνεται ο μιγαδικός .
Α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ του z.
Β. Να δείξετε ότι:
Γ. Αν να δειχτεί ότι
.
Δ. Αν
1. Να αποδειχτεί ότι
2. Να αποδειχτεί ότι
3. Να υπολογιστεί ο w.
Δίνονται οι και ισχύουν τα εξής:
Α. Να υπολογιστούν οι
Β. Να υπολογιστούν τα μέτρα
Γ. Να βρεθεί η γραμμή στην οποία κινείται η εικόνα του .
Δ. Να δειχτεί ότι .
Ε. Να αποδειχτούν:
1.
2.
Δίνεται ο μιγαδικός
Α. Να βρεθούν οι τιμές του αν
Β. Να δειχτεί ότι
Γ. Να λυθεί η εξίσωση: .
Δ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για κάθε
.
Δίνονται οι μιγαδικοί ώστε να ισχύει:
.
A. Να αποδειχτούν
1.
2.
3.
B. Αν ισχύει να δειχτεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες των
είναι ομμόροπες.
Γ. Αν ισχύει να δειχτεί ότι