eMath:a - Μιγαδικοί

6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί 06 Αύγουστος 2013

Δίνονται οι μιγαδικοί ώστε να ισχύει: ${overline z ^2} + w = {z^2}w,,,kappa alpha iota ,,,{{rm Re}nolimits} left( z right){{rm Im}nolimits} left( z right) ne 0$ .

Α. Αν να αποδειχτεί ότι:

1. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των είναι υπερβολή εκτός των κορυφών, της οποίας να βρεθούν οι εστίες.

Β. Αν να αποδειχτεί ότι .

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί 06 Αύγουστος 2013

Δίνεται ο μιγαδικός $z = frac{{{e^alpha } - 1}}{{{e^alpha } + 1}} + i cdot frac{{{e^alpha } + 1}}{{{e^alpha } - 1}},,,,alpha in {R^*}$ .

Α. Να δειχτεί ότι

Β. Να αποδειχτεί ότι και μόνο, υπάρχει ακριβώς ένα $alpha in {R^*}$ τέτοιο ώστε $y = frac{{{e^alpha } + 1}}{{{e^alpha } - 1}}$ .

Γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του και να γίνει γραφική παράσταση.

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί 05 Αύγουστος 2013

Για τους ισχύουν .

Α. Να αποδειχτεί ότι

Β. Να αποδειχτεί ότι

Γ. Να δειχτεί ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα 2.

Δ. Να υπολογιστούν οι .

3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί 05 Αύγουστος 2013

Δίνεται ότι . Να βρείτε

Α. Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων Ν των μιγαδικών

Β. Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z.

Γ. Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης: .

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί 31 Δεκέμβριος 2012

Δίνονται οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},,,mu varepsilon ,,,left| {{z_1}} right| le 1 le left| {{z_2}} right|$ . Αν υπάρχει μιγαδικός ώστε να ισχύει:

${left| w right|^2} - 2left| {w - w{z_1}overline {{z_2}} } right| + {left| {{z_1} - {z_2}} right|^2} = 0$ :

Α. Να δειχτεί ότι: $left| {{z_1}} right| = 1,$ ή $left| {{z_2}} right| = 1$

Β. Να δειχτεί ότι: $left| {{z_1} + {z_2}} right| le 1 + left| {{z_1}{z_2}} right|$

Γ. Αν $left| {{z_1}} right| = left| w right| = 1$

1. Να υπολογιστεί η απόσταση των εικόνων των ${z_1},{z_2}$

2. Να δειχτεί ότι: $left| {{z_2}} right| le 2$

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί 09 Δεκέμβριος 2012

Δίνεται ο μιγαδικός z με ${{rm Re}nolimits} left( {{z^2}} right) = - 1$ και ο μιγαδικός w που η εικόνα του διαγράφει την γραμμή με εξίσωση $frac{{{x^2}}}{{left| {z + frac{2}{z}} right|}} + frac{{{y^2}}}{{left| z right|}} = 1$ .

A. Να δειχτεί ότι:

Β. Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ισοσκελής υπερβολή.

Γ. Αν επιπλέον το είναι σταθερό να αποδειχτεί ότι:

1. ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι κύκλος του οποίου να βρεθεί η ακτίνα.

2. $left| {{w^2} + overline z ,,i} right| = sqrt {2{{rm Re}nolimits} left( {{{left| z right|}^2} - z,{w^2},i} right)}$