12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση f  γνησίως φθίνουσα στο R

και οι συναρτήσεις g,h  με g\left( x \right) = {h^2}\left( x \right) - 2h\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R .

Αν  {C_f}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{C_g}  τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο

Α.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει {x_o} \in R  με  f\left( {{x_o}} \right) \ge - 1

      Για τον αριθμό {x_o} που βρέθηκε στο Α ερώτημα:

Β.   Αν  f\left( {{x_o}} \right) = - 1

   1.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση g  παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

   2.   Αν  h\left( x \right) = {e^{ - x}} + {e^x} - 1,\,\,\,\forall x \in R

       i.   Να αποδειχτεί ότι {x_o} = 0

      ii.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( x \right) \ge {e^x} - 2

11. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται συνάρτηση  g,,,1 - 1,,,sigma tau o,,R  με  {g^{ - 1}}left( x right) = {e^{x + 1}} + x,,,,forall x in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να λυθεί η εξίσωση  gleft( x right) = 0

Γ.   Να αποδειχτεί ότι frac{{gleft( x right)}}{{x - e}} > 0,,,forall x ne e

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση  {g^{ - 1}}left( x right) = 0

Ε.   Δίνεται συνάρτηση  fleft( x right) = {g^2}left( x right) + 2gleft( x right) + 2,,,,forall x in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

   2.   Να λυθεί η ανίσωση  {f^2}left( x right) le 2 - fleft( x right)

10. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνονται οι συναρτήσεις   phi left( x right) = sqrt x + {e^{sqrt x }} - 1,,,,x in left[ {0, + infty } right) και  gleft( x right) = 1 - {e^{sqrt x }},,,,x in left[ {0, + infty } right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι  g  1-1

Β.   Να αποδειχτεί ότι  {g^{ - 1}}left( x right) = {ln ^2}left( {1 - x} right),,,,forall x le 0

Γ.   Αν  fleft( x right) = phi left( {{g^{ - 1}}left( x right)} right),,,,forall x le 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι η  f  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να υπολογιστεί η τιμή  {f^{ - 1}}left( e right)

   3.   Να λυθεί η εξίσωση  {f^{ - 1}}left( {1 - x} right) = x

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση   gleft( x right) = {e^{ - x}} - x,,,,forall x in R.

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να αποδειχτεί ότι  1 in gleft( R right)

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση  {g^{ - 1}}left( x right) = 1 - x

Δ.   Για την συνάρτηση  f  ισχύει ότι   {e^{fleft( x right)}} = frac{1}{{fleft( x right) + {e^x} + 1}},,,,forall x in mathbb{R}

   1.   Να αποδειχτεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να αποδειχτεί ότι  fleft( 1 right) = - 1

   3.   Να βρείτε την  {f^{ - 1}}

 

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}},,,,,x in R

Α.   Να δειχτεί ότι το σύνολο τιμών της είναι  fleft( {rm A} right) = left[ {frac{1}{3},3} right]

Β.   Να υπολογιστεί η θέση του ολικού μέγιστου της  f.

Γ.   Δίνεται ο μιγαδικός z και ότι υπάρχει  alpha in R  ώστε   frac{z}{4} + frac{9}{z} = fleft( alpha right)

   1.   Αν  alpha = - 1  να δειχτεί ότι  z = 6

   2.   Αν  alpha ne - 1  να δειχτεί ότι  left| z right| = 6

   3.   Για alpha in R να υπολογιστεί το  min left( {{{rm Re}nolimits} left( z right)} right)

7. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση   fleft( x right) = ln left( {1 + {e^x}} right),,,,x in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να αποδειχτεί ότι  {f^{ - 1}}left( x right) = ln left( {{e^x} - 1} right),,,,x > 0

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση:  {f^{ - 1}}left( {{x^2} - x + 1} right) < ln left( {e - 1} right) 

Δ.   Να βρεθεί μία συνάρτηση g αν   gleft( { - ln left( {1 + {e^x}} right)} right) = x + 1,,,,forall x in R

6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = 1 - {x^2},,,x in left[ {0, + infty } right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι αντιστρέψιμη και ότι   {f^{ - 1}}left( x right) = sqrt {1 - x} ,,,x in left( { - infty ,1} right]

Β.   Να βρεθούν τα κοινά σημεία των   {C_f},,kappa alpha iota ,,{C_{{f^{ - 1}}}}

Γ.   Αν για τον μιγαδικό z ισχύει  left| {z - 3i} right| = 2   και η εξίσωση  fleft( x right) = left| z right|   έχει λύση,

     να υπολογιστεί το  left| z right|  και η λύση της εξίσωσης.

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

 Α.   Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = ln x + x - 1,,,,forall x in left( {0, + infty } right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι: f  είναι γνήσια αύξουσα.

   2.   Να υπολογιστεί η τιμή  {f^{ - 1}}left( e right).

   3.   Να λυθεί η ανίσωση:  x < {e^{1 - x}}

Β.   Δίνονται οι μιγαδικοί  z = ln x - 1 + xi,,,kappa alpha iota ,,,w = x - xi,,,,x in left( {0,e} right]

   1.   Να λυθεί η εξίσωση:  left| z right| = left| w right|

   2.   Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών  z,,,kappa alpha iota ,,, - w,,,,,,,forall x in left[ {1,e} right].

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R  με  fleft( R right) = left( {0,1} right)  και η συνάρτηση

gleft( x right) = frac{{{f^2}left( x right)}}{{1 - {f^2}left( x right)}},,,,forall x in R . Αν  f γνήσια αύξουσα στο R

A.   Να αποδειχτεί ότι  g  γνήσια αύξουσα στο R.

B.   Αν  fleft( x right) = frac{{{e^x}}}{{1 + {e^x}}},,,,forall x in R   να αποδειχτεί ότι

   1.   {f^{ - 1}}left( x right) = ln frac{x}{{1 - x}},,,,forall x in left( {0,1} right)

   2.   {g^{ - 1}}left( x right) = ln left( {x + sqrt {{x^2} + x} } right),,,,forall x > 0

Υποκατηγορίες

Μιγαδικοί Αριθμοί

Επαναληπτικές