eMath:a - Κατεύθυνση

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια 06 Ιανουάριος 2017

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R$ με $f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - x + 1} \right) < 0,\,\,\,\forall x > 1$

Α. Να αποδειχτεί ότι $f\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x > 1$

Β. Να αποδειχτεί ότι $f\left( 1 \right) = 0$

Γ. Να υπολογιστεί το όριο ${\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{{x - 1}}$

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Όριο - Συνέχεια 02 Νοέμβριος 2016

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left( {0, + \infty } \right) \to R$ . Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο ${\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {{e^\alpha }} \right){x^3} - \alpha {x^2} - {e^\alpha }x + e + 1}}{{x - 1}},\,\,\,\forall \alpha \in R$

Α. Να αποδειχτεί ότι $f\left( x \right) = \ln x + x - e - 1,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$

Β. Να αποδειχτεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα

Γ. Αν για την συνάρτηση $g:R \to \left( {0, + \infty } \right)$ ισχύει $\ln g\left( x \right) + g\left( x \right) = x,\,\,\,\forall x \in R$ να αποδειχτεί ότι

1. 1-1

2. ${g^{ - 1}}\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$

12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια 22 Σεπτέμβριος 2016

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R$ .

Αν ισχύει ${f^2}\left( x \right) = 2{e^x}f\left( x \right) - 1,\,\,\,\forall x \ge 0$

Α. Να αποδειχτεί ότι $f\left( 0 \right) = 1$

Β. Να αποδειχτεί ότι ${\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) \ne - \infty \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) < 1$

Γ. Να αποδειχτεί ότι $f\left( x \right) \le {e^x},\,\,\,\forall x \ge 0$

Δ. Να αποδειχτεί ότι $f\left( x \right) = {e^x} - \sqrt {{e^{2x}} - 1} ,\,\,\,\forall x \ge 0$

Ε. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της .

11. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια 21 Δεκέμβριος 2015

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:R \to R$ με $f\left( R \right) = \left( { - \infty ,0} \right)$

και η συνάρτηση $h\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,x > 0$

Α. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα ${x_{\,1}}$ στο διάστημα $\left( {0,1} \right)$ .

Β. Να αποδειχτεί ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την γραφική παράσταση της

ακριβώς μία φορά σε σημείο με τετμημένη ${x_o}$ .

Γ. Να αποδειχτεί ότι ${x_o} < {x_{\,1}}$ .

Δ. Να λυθεί η ανίσωση: $f\left( {x - {x_o}} \right) - f\left( {1 - {x_o}} \right) + 1 < \ln \left( {x - {x_o}} \right) - \ln \left( {1 - {x_o}} \right) + x$ .

10. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια 01 Μάρτιος 2015

Δίνεται η συνάρτηση $fleft( x right) = frac{1}{x} + {e^{1 - x}},,,,x in {rm A} = left( {0, + infty } right)$

Α. Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της

Γ. Να λυθεί η ανίσωση

Δ. Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ${x_o} in left( {1,2} right):,,,fleft( {{x_o}} right) = 1$

Ε. Αν υπάρχει μιγαδικός αριθμός z που ικανοποιεί την ισότητα

να αποδείξετε ότι .

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια 09 Φεβρουάριος 2014

Δίνονται οι συναρτήσεις ορισμένες και συνεχείς στο με ${lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) - gleft( x right)}}{x} = - 1$

Αν και η είναι γνησίως φθίνουσα τότε

Α. Να αποδειχτεί ότι: ${lim }limits_{x to 0} gleft( x right) > 0$
Β. Να αποδειχτεί ότι: ${lim }limits_{x to 0} fleft( x right) { = lim }limits_{x to 0} gleft( x right)$
Γ. Αν επιπλέον να αποδειχτεί ότι υπάρχει ${x_ circ } > 0$ ώστε $fleft( {{x_ circ }} right) = gleft( {{x_ circ }} right)$