5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται το όριο  {lim }limits_{x to - 2} frac{{xfleft( x right) - x + 2}}{{x + 2}} = - 2 . Να υπολογιστούν τα όρια

Α.    {lim }limits_{x to - 2} fleft( x right)

Β.    {lim }limits_{x to - 2} frac{{fleft( x right) + {x^2} + x - 4}}{{x + 2}}

Γ.    {lim }limits_{x to - 2} frac{{left| {xf(x) - x + 2 - {x^2}} right| + 2x}}{{x + 2}}

Δ.    {lim }limits_{x to - {2^ - }} frac{{xfleft( x right) - x}}{{xfleft( x right) - x + 2}}

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται το όριο: {lim }limits_{x to - 2} frac{{left| {z + 2i,} right|x + left| {w - 1,} right|{x^2}}}{{{x^2} + x - 2}} = 2   όπου  z,w in C

A.   Να δειχτεί ότι   left| {z + 2i} right| = 2left| {w - 1} right|

B.   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w.

Γ.   Αν  t = 2w - 4 + 4i  να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων των  t,w.

3. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής και γνήσια αύξουσα συνάρτηση f ορισμένη στο {rm A} = left( {0,e} right]   με   fleft( 1 right) = 1,,,kappa alpha iota ,,,fleft( {rm A} right) = left( {0,e} right].

Δίνεται και η συνάρτηση   gleft( x right) = {ln ^2}fleft( x right) - ln {f^2}left( x right) + 2.

Α.  Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της  g.

B.  Να αποδειχτεί ότι:   fleft( e right) = e,,,kappa alpha iota ,,, {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) = 0

Γ.  Να δειχτεί ότι η  g  παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο  {x_0} = e.

Δ.  Να αποδειχτεί ότι η  g  είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η  {g^{ - 1}} 

     ως προς   {f^{ - 1}}.

Ε.  Αν  {f^{ - 1}}  είναι συνεχής να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις

     {C_g},,,kappa alpha iota ,,,{C_{{g^{ - 1}}}}   έχουν κοινό σημείο.

Ζ.  Να υπολογιστεί το όριο    {lim }limits_{x to 0} gleft( x right).

2. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  f:R to R  με fleft( 6 right) = 3,,,,fleft( 2 right) = 1 . 

Δίνεται και η συνάρτηση  gleft( x right) = {f^2}left( x right) - 3xfleft( x right),,,,x in R

Α. Να δειχτεί ότι  υπάρχει  {x_0} in R:,,,fleft( {{x_0}} right) = 2.

Β.  Να δειχτεί ότι η  {C_g}  τέμνει την ευθεία   varepsilon :y = - x - 4  στο διάστημα  left( {2,{x_0}} right).

Γ. Αν  gleft( x right) = - frac{{5{x^2}}}{4},,,,forall x in R  και  3fleft( { - 2} right){x^2} + 6x - 1 ne 0,,,,forall ,,x in R

    1. να δειχτεί ότι  left| {fleft( x right) - frac{{3x}}{2}} right| = left| x right|,,,,forall x in R.

    2. Να βρεθεί o τύπος της f .

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνάρτηση f  συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο R  με  fleft( R right) = left( { - e, - 1} right).

A.   Να δειχτεί ότι η  {C_f} τέμνει την καμπύλη  y = - {e^{ - x}}  σε μοναδικό σημείο

      με τετμημένη   {x_ circ } in left( { - 1,0} right).

B.   Έστω η συνάρτηση  varphi left( x right) = fleft( x right){e^x} + 1

   1.   Να δειχτεί ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο R.

   2.   Να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

   3.   Να υπολογιστεί το όριο:   {lim }limits_{x to {x_ circ }} frac{1}{{varphi left( x right)left( {x - {x_ circ }} right)}}   όπου {x_ circ } η τιμή από το Α ερώτημα.

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται συνάρτηση f:\left( {0,\pi } \right) \to R  η οποία δέχεται εφαπτόμενη ευθεία (ε)

στο σημείο της {\rm A}\left( {\alpha ,f\left( \alpha \right)} \right),\,\,\,\alpha \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right).

Αν η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα x'x  γωνία \alpha

Α.   Να αποδειχτεί ότι   {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x - f\left( \alpha \right)\sigma \upsilon \nu \alpha }}{{x - \alpha }} = \eta \mu \alpha \cdot \left( {1 - f\left( \alpha \right)} \right)

Β.   Αν {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{x\sigma \upsilon \nu x - \alpha \sigma \upsilon \nu \alpha }}{{\eta \mu x - \eta \mu \alpha }} = 1 + \alpha   και   {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x - f\left( \alpha \right)\sigma \upsilon \nu \alpha }}{{x - \alpha }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

   1.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha = \frac{{3\pi }}{4}

   2. Να αποδειχτεί ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται και στην  g\left( x \right) = {\left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right)^2} - x + \frac{{3\pi }}{4}.

8. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\sqrt {{x^2} - x + 4} + x,\,\,\,x < 0}\\ {\eta \mu x - \frac{x}{4} + \alpha ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0} \end{array}} \right.,  \alpha \in R.

Α.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι  \forall x < 0,\,\,\,f'\left( x \right) > 0

Γ.   Αν η ευθεία  y = \lambda x + 3  εφάπτεται στην {C_f} στο σημείο  \left( {\frac{\pi }{2},f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\lambda = - \frac{1}{4}

   2.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση f  είναι παραγωγίσιμη στο  {x_o} = 0.

7. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση  f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt { - {x^3}} \,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0\\ - \sigma \upsilon \nu x + 1,{\rm{ }}0 \le x \le \pi \end{array} \right.

Α.   Να αποδειχτεί ότι  f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc}{ - \frac{3}{2}\sqrt { - x} \,\,\,,\,\,\,x < 0}\\{\eta \mu x\,\,\,,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le \pi }\end{array}} \right.

Β.   Να βρεθεί ο αριθμός β  αν η ευθεία  \varepsilon :y = \beta   είναι εφαπτόμενη της  {C_f}.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει δεύτερη παράγωγος της f  στο 0.

Δ.   Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης  g\left( x \right) = f'\left( x \right) - f\left( x \right).

6. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται συνάρτηση  f:R \to R   με  f\left( { - 1} \right) = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( 1 \right) = 2 . Αν f  παραγωγίσιμη στα {x_1} = - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_2} = 1

Α.   Να αποδειχτεί ότι   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2x}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right) - 2

Β.   Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  g:R \to R  με  {x^2}\,g\left( x \right) - {f^2}\left( x \right) = g\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right) . Να
      αποδειχτεί ότι  g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}},x \ne \pm 1\\ - f'\left( { - 1} \right),x = - 1\\f'\left( 1 \right) - 2,x = 1\end{array} \right. 

Γ.   Δίνεται ο τύπος της συνάρτησης  f:\,\,\,f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} + x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f\left( x \right) = 0  έχει τουλάχιστον μία λύση {x_{^o}}  στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},0} \right) 

   2.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  \frac{{f'\left( x \right) + 2{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = - x  έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},{x_o}} \right)
          όπου {x_{^o}}  η λύση του ερωτήματος  Γ1.

Υποκατηγορίες

Μιγαδικοί Αριθμοί

Επαναληπτικές