Δίνεται το όριο . Να υπολογιστούν τα όρια
Α.
Β.
Γ.
Δ.
Δίνεται το όριο . Να υπολογιστούν τα όρια
Α.
Β.
Γ.
Δ.
Δίνεται το όριο: όπου
A. Να δειχτεί ότι
B. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w.
Γ. Αν να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων των
.
Δίνεται η συνεχής και γνήσια αύξουσα συνάρτηση ορισμένη στο
με
.
Δίνεται και η συνάρτηση .
Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της .
B. Να αποδειχτεί ότι:
Γ. Να δειχτεί ότι η παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο
.
Δ. Να αποδειχτεί ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η
ως προς .
Ε. Αν είναι συνεχής να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις
έχουν κοινό σημείο.
Ζ. Να υπολογιστεί το όριο .
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με
.
Δίνεται και η συνάρτηση
Α. Να δειχτεί ότι υπάρχει .
Β. Να δειχτεί ότι η τέμνει την ευθεία
στο διάστημα
.
Γ. Αν και
1. να δειχτεί ότι .
2. Να βρεθεί o τύπος της .
Δίνεται η συνάρτηση συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο R με
.
A. Να δειχτεί ότι η τέμνει την καμπύλη
σε μοναδικό σημείο
με τετμημένη .
B. Έστω η συνάρτηση
1. Να δειχτεί ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο R.
2. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
3. Να υπολογιστεί το όριο: όπου
η τιμή από το Α ερώτημα.
Δίνεται συνάρτηση η οποία δέχεται εφαπτόμενη ευθεία (ε)
στο σημείο της .
Αν η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα γωνία
Α. Να αποδειχτεί ότι
Β. Αν και
1. Να αποδειχτεί ότι
2. Να αποδειχτεί ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται και στην .
Δίνεται η συνάρτηση ,
.
Α. Να υπολογιστεί το όριο
Β. Να αποδειχτεί ότι
Γ. Αν η ευθεία εφάπτεται στην
στο σημείο
1. Να αποδειχτεί ότι
2. Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο
.
Δίνεται η συνάρτηση
Α. Να αποδειχτεί ότι
Β. Να βρεθεί ο αριθμός β αν η ευθεία είναι εφαπτόμενη της
.
Γ. Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει δεύτερη παράγωγος της στο 0.
Δ. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης .
Δίνεται συνάρτηση με
. Αν
παραγωγίσιμη στα
Α. Να αποδειχτεί ότι
Β. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με
. Να
αποδειχτεί ότι
Γ. Δίνεται ο τύπος της συνάρτησης
1. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση
στο διάστημα
2. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα
όπου η λύση του ερωτήματος Γ1.