5. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = 2\alpha {x^2} + x - 1,\,\,\,\alpha  \in {R^ * },\,\,\,\forall x \in R   η οποία έχει παράγωγο συνάρτηση ευθείας

που εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f  σε κάποιο σημείο της  {\rm M}\left( {{x_o},f\left( {{x_o}} \right)} \right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha  =  - \frac{1}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_o} = 2

Β.   Δίνονται οι συναρτήσεις  g\left( x \right) = \ln x + 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right),\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  x\,h''\left( x \right) + h'\left( x \right) + \frac{1}{x} = 0,\,\,\,\forall x > 0

   2.   h\left( {\rm A} \right) = \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right]

4. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R \to R  με  f\left( x \right)g\left( x \right) = x - 1,\,\,\,\forall x \in R.

Αν η f  είναι παραγωγίσιμη στο 1

Α.   να αποδειχτεί ότι f\left( 1 \right) \ne 0\,\,\, \vee \,\,\,g\left( 1 \right) \ne 0

Β.   Δίνεται f\left( 1 \right) \ne 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 1

   2.  Έστω {\varepsilon _1},{\varepsilon _2}  οι εφαπτόμενες ευθείες των  {C_f},\,\,\,{C_g} στα σημεία \left( {1,f\left( 1 \right)} \right),\,\,\,\left( {1,g\left( 1 \right)} \right) αντίστοιχα.

         Αν   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x - {f^2}\left( 1 \right) + 2}}{{x - 1}} = 0  να αποδειχτεί ότι  {\varepsilon _1}//{\varepsilon _2}.

3. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R με   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - x}}{x} = \alpha  \in R .

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι παραγωγίσιμη στο 0

Β.   Αν f'\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( x \right) \ne x,\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει  {x_o} > 0  τέτοιο ώστε f\left( {{x_o}} \right) > {x_o}

   2.   Να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {2f\left( x \right) - x - \eta \mu x} \right|}}{x}

   3.   Να αποδειχτεί ότι  f({\rm A}) = \left[ {0, + \infty } \right)

2. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δίνεται συνάρτηση f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R  γνησίως αύξουσα με f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right),\,\,\,\forall x \ge 1

 και υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο   {\lim }\limits_{x \to {x_{\,o\,}}} f\left( x \right),\,\,\,\forall {x_{\,o\,}} \ge 1.

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι συνεχής

Β.   Να αποδειχτεί ότι  f\left( {\rm A} \right) = \left[ {0, + \infty } \right)

Γ.   Αν  f'\left( 1 \right) = 1  να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\,f\left( {{x^2}} \right) - \ln \left( {f\left( x \right) + 1} \right)}}{{x - 1}}

Δ.   Αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο,  \frac{1}{2} < f\left( 2 \right) < 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} , να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο της  {C_f}  στο οποίο δέχεται εφαπτόμενη ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δίνεται η συνάρτηση  f:left[ {0, + infty } right) to left( {0, + infty } right)  για την οποία  υπάρχει το   {lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) - 1}}{x} = alpha  in R

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,x ge 0  και ισχύει  fleft( x right)gleft( x right) = x,,,,forall x in left[ {0, + infty } right)

Α.  Να δειχτεί ότι  fleft( x right) ge 1,,,,forall x ge 0

Β.  Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0

Γ.  Να δειχτεί ότι  g'left( 0 right) = 1  και  f'left( 0 right) = 1

Δ.  Δίνεται ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο  {x_0} in left[ {0, + infty } right).

     Να δειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο  {rm M}left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right)

     τέμνει τον άξονα x'x και μάλιστα σε σημείο με τετμημένη   - fleft( {{x_0}} right).

Ε.  Δίνεται ότι  η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη και  fleft( {2{e^2}} right) = {e^2}

     Να δειχτεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της  {C_f}  η οποία διέρχεται από το σημείο left( {0,2} right).

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνονται οι συναρτήσεις  f\left( x \right) = {x^2} - ln\left( {2x} \right) - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = ln\frac{x}{2}

Α.   Να αποδειχτεί ότι έχουν ακριβώς μία κοινή εφαπτόμενη ευθεία σε κοινό σημείο

Β.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) \ge g\left( x \right),\,\,\,\forall x > 0  και να εξεταστεί πότε ισχύει η ισότητα

Γ.   Να αποδειχτεί ότι:  {x^4} - ln\left( {2{x^2}} \right) \ge \frac{{1 - ln2}}{2},\,\,\,\forall x > 0

Δ.   να λυθεί η ανίσωση:  {x^4} - 1 \le 2ln{x^2} .

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνεται η παραγωγίσιμη και άρτια συνάρτηση   f:R \to R  με  f\left( 0 \right) = \sqrt e  και  {e^{f\,'\left( x \right)}} - {e^{x\,f\left( x \right)}} \ge x\,f\left( x \right) - f\,'\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R

Α.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της  {C_f} στο σημείο  \left( {0,f\left( 0 \right)} \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι:  f\,'\left( x \right) \ge x\,f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R

Γ.   Να βρεθεί ο τύπος της f

12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση   f\left( x \right) = x \cdot {e^x},\,\,\,\,x \in R

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:  {e^{e\,f\left( x \right) + 1}} \ge  - \frac{1}{{e\,f\left( x \right)}}

Γ.   Έστω η συνάρτηση   g\left( x \right) =  {{{\left( {x + 1} \right)}^{\alpha  + 1}}}\limits_{\,\,\,} {e^{x + 2}} +  {{{\left( { - 1} \right)}^\alpha }}\limits_{}  ,  x \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha  \in {\rm N}  η οποία διατηρεί πρόσημο  

       στο σύνολο  {\rm A} = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right) . Να υπολογιστεί ο α.

11. Γ΄ Λυκείου / Κατεύθυνση / Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Δίνεται η συνάρτηση  g\left( x \right) = ln\left( {{e^x} + 1} \right) - x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να βρεθεί το  g\left( {\rm A} \right)

   2.   Να βρεθεί η  {g^{ - 1}}

Β.   Για κάποια συνάρτηση f  ισχύει f'\left( {g\left( x \right)} \right) = {e^x},\,\,\,\forall x \in R  και  f\left( {ln2} \right) =  - ln2

   1.   Να βρεθεί η συνάρτηση  f

   2.   Να αποδειχτεί ότι  f\left( x \right) + ln4 \le x,\,\,\,\forall x > 0

   3.   Να αποδειχτεί ότι  \left| {f\left( x \right)} \right| > g\left( x \right),\,\,\,\forall x > 0

   4.   Δίνεται ότι ισχύει  f\left( x \right) + x \le {e^{\alpha x}} - {2^\alpha },\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right),\,\,\,\alpha  \in R . Να αποδειχτεί ότι  \alpha  = 1