10. Γ΄ Λυκείου / Κατεύθυνση / Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = ln\left( { - x} \right) + {e^{ - x}} - e,\,\,\,\forall \,x < 0.

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:  {e^x} \cdot ln\left( { - x} \right) + 1 < {e^{x + 1}}.

Γ.   Δίνεται και η συνεχής συνάρτηση g  για την οποία ισχύει  {g^2}\left( x \right) = f\left( x \right),\,\,\,\forall \,x \in {{\rm A}_g}.

   1.   Να βρεθεί το  {{\rm A}_g}.

   2.   Να βρεθούν οι δυνατοί τύποι της  g.

   3.   Αν {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{x + 1}} = + \infty    να βρεθεί ο τύπος της  g.

9. Γ΄ Λυκείου / Κατεύθυνση / Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Να μελετηθεί η μονοτονία των συναρτήσεων  g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + 2x + 1\,,\,\,\,x \in R

       και  h\left( x \right) = {e^{ - x}} - x,\,\,\,x \in R  και να βρεθεί το  h\left( R \right)

Β.   Δίνεται η συνάρτηση f  με  {f^3}\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1 = {e^{ - x}} - x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να μελετηθεί το πρόσημο της  f

   3.   Αν  f\left( {{x_1}} \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( {{x_2}} \right) = - 2

       α)   Να λυθεί η ανίσωση:  4{e^x}f\left( x \right) + x{e^x} + {e^x} > 1

       β)   Nα αποδειχτεί ότι:  {x_1} < - 1

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνεται η κυρτή συνάρτηση f:R \to R  και ότι υπάρχει \alpha \in R  με  f'\left( \alpha \right) = 0.

Δίνεται και η συνάρτηση g\left( x \right) = f\left( {{e^x}} \right).

Α.   Να μελετηθούν η μονοτονία και τα ακρότατα της f.

Β.   Αν  \alpha \le 0  να δειχτεί ότι η συνάρτηση g  είναι κυρτή

Γ.   Αν  \alpha > 0

   1.   Να λυθεί η ανίσωση g'\left( x \right) < 0.

   2.   Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της {C_g} στο σημείο της \left( {{x_o},g\left( {{x_o}} \right)} \right),\,\,\,{x_o} < \,\,\ln \alpha

   3.   Να αποδειχτεί ότι η g δεν είναι κυρτή.

   4.   Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to - \infty } g'\left( x \right) = 0

συμπέρασμα: g\,\,\,\kappa \upsilon \rho \tau \eta \,\, \Leftrightarrow \,\,\,\alpha \le 0

7. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g  δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με  fleft( 1 right) = f'left( 1 right)

και   {lim }limits_{h to 0} frac{{gleft( {fleft( x right) + h} right) + gleft( {fleft( x right) - h} right) - 2gleft( {fleft( x right)} right)}}{{{h^2}}} le x,f'left( x right),,,,forall x in R  

Α.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   g''left( x right) = - {lim }limits_{h to 0} frac{{g'left( {x - h} right) - g'left( x right)}}{h} 

   2.   {lim }limits_{h to 0} frac{{gleft( {fleft( x right) + h} right) + gleft( {fleft( x right) - h} right) - 2gleft( {fleft( x right)} right)}}{{{h^2}}} = g''left( {fleft( x right)} right) 

Β.   Αν επιπλέον  g''left( x right) = x,,,,forall x in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι  f''left( 1 right) = 0

   2.   Για κάθε  x > 1  δείξτε ότι  fleft( x right) ge x,fleft( 1 right)

6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

 

Δίνεται η συνάρτηση   f:mathbb{R} to left( {0,,, + infty } right)   για την οποία ισχύει:  ln fleft( x right) = {e^{x - ln fleft( x right)}},,,,forall x in mathbb{R}.

Να δείξετε ότι:

Α.   fleft( x right) > 1,,,,forall x in mathbb{R}.

Β.   f  γνησίως αύξουσα στο  mathbb{R}.

Γ.   fleft( 1 right) < {left[ {fleft( 0 right)} right]^e} 

Δ.   fleft( x right) > {e^{frac{x}{2}}},,,,forall x in mathbb{R}   (από εφαρμογή του σχολικού βιβλίου ισχύει:  ln x le x - 1,,,forall x > 0). 

Ε.    {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) = + infty . 

Ζ.    {lim }limits_{x to + infty } frac{{{e^x}}}{{{f^2}left( x right)}} = 0 . 

Η.   {lim }limits_{x to + infty } frac{{ln x}}{{fleft( x right)}} = 0 .

Θ.    {lim }limits_{x to + infty } {left( {frac{{ln x}}{{fleft( x right)}}} right)^{frac{{ln x}}{{fleft( x right)}}}} = 1.

 

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνεται συνάρτηση  f   δύο φορές παραγωγίσιμη στο R  με  2xf'left( x right) + alpha {x^2}f''left( x right) = eta mu x,,,forall x in R  όπου  alpha in R.

Αν η f'' είναι συνεχής στο  {x_o} = 0  να αποδειχτούν

Α.   f'left( 0 right) = frac{1}{2}

Β.   Για  alpha = 1   να αποδειχτούν

   1.   f'left( x right) = frac{{1 - sigma upsilon nu x}}{{{x^2}}},forall x in {R^ * }

   2.   ο άξονας  x΄x   είναι ασύμπτωτη της   f ΄  στο  +∞

   3.   fleft( x right) ge fleft( 0 right),,,forall x in left( {0, + infty } right)

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνεται συνάρτηση  f  συνεχής στο [α,β]  και παραγωγίσιμη στο  (α,β)

με  left| {fleft( {{x_1}} right) - fleft( {{x_2}} right)} right| < left| {{x_1} - {x_2}} right|,,,forall {x_1},{x_2} in left( {alpha ,beta } right),,mu varepsilon ,,{x_1} ne {x_2}

Α.   Να αποδειχτεί ότι   left| {f'left( x right)} right| le 1,,,,,forall x in left( {alpha ,beta } right)

Β.   Αν ισχύουν:   fleft( alpha right) = alpha ,,kappa alpha iota ,,fleft( beta right) = beta    δείξτε ότι

   1.   fleft( x right) le x,,,,,forall x in left( {alpha ,beta } right)

   2.   fleft( x right) = x,,,,,forall x in left[ {alpha ,beta } right]

3. Γ΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

A.   Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης:  gleft( x right) = left( {x + 1} right){e^x} - 1,,,forall x in left( { - 1, + infty } right)

B.   Δίνεται η συνάρτηση:  fleft( x right) = {e^x} - ln left( {x + 1} right) - 1,,,x in left( { - 1, + infty } right) . Να δείξετε ότι

   1.   fleft( x right) > 0,,,forall x in left( { - 1,0} right) cup left( {0, + infty } right)

   2.   f   κυρτή

   3.   fleft( 2 right) > f'left( 1 right) + fleft( 1 right)

   4.   forall {x_1},{x_2} in left( { - 1, + infty } right)  υπάρχουν  xi ,{xi _1} in left( {{x_1},{x_2}} right)   και  {xi _2} in left( {{x_1} + 1,{x_2} + 1} right)  τέτοια ώστε:

                {e^xi } - frac{1}{{xi + 1}} = {e^{{xi _1}}} - frac{1}{{{xi _2}}}

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Δίνονται οι συναρτήσεις   gleft( x right) = {e^x}left( {x - 4} right),,,,x in R   και  hleft( x right) = frac{{{e^x} - 1}}{{{x^3}}},,,,x in {R^*}

    1.   Να μελετηθεί η μονοτονία και η κυρτότητα της  g .

    2.   Να αποδειχτεί  ότι   {x^4} cdot h'left( x right) = g'left( x right) + 3,,,,forall x in {R^*}

Β.   Δίνεται η συνάρτηση  f   συνεχής στο  left[ {0, + infty } right)  και δύο φορές παραγωγίσιμη στο  left( {0, + infty } right).

   Αν ισχύει  fleft( 1 right) = e - 1  και    {x^2} cdot f''left( x right) = {e^x}left( {x - 2} right) + 2fleft( x right),,,,forall x > 0   να δειχτεί ότι

    1.    fleft( x right) = left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{frac{{{e^x} - 1}}{x},,,,x > 0}{1,,,,x = 0}end{array}} right.

    2.   forall x > 0  υπάρχει  xi in left( {0,x} right):,,,fleft( x right) = {e^xi }.

Υποκατηγορίες

Μιγαδικοί Αριθμοί

Επαναληπτικές