1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

 Α.   Δίνεται η συνάρτηση  gleft( x right) = x,{e^x},,,,x in R . Να δειχτεί ότι

    1.   g   γνήσια αύξουσα  left[ {0, + infty } right)

    2.   gleft( x right) < {e^{2x}},,,,forall x in R

Β.   Δίνεται συνάρτηση  f:left[ {0, + infty } right) to R  με   fleft( x right),{e^{fleft( x right)}} = x,,,,forall x ge 0 . Να αποδειχτούν

    1.   fleft( x right), ge 0,,,,forall x ge 0

    2.   f    γνήσια αύξουσα στο   left[ {0, + infty } right) 

    3.    2fleft( x right), > ln x,,,,forall x > 0 

    4.    {lim }limits_{x to  + infty } fleft( x right) =  + infty

    5.   Αν επιπλέον είναι  f  συνεχής στο  left[ {0, + infty } right)  τότε

        α. είναι και παραγωγίσιμη με  f'left( x right) = frac{1}{{x + {e^{fleft( x right)}}}},,,,forall x ge 0

        β.  forall {x_1},{x_2} in left[ {0, + infty } right):,,,left| {fleft( {{x_1}} right) - fleft( {{x_2}} right)} right| le left| {{x_1} - {x_2}} right|

        γ.  forall x > 0:,,,,,,x,f'left( x right) < fleft( x right) < x

6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα

Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc}
{\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - x - 1}},\,\,\,x \ne 0}\\
{\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 0}
\end{array}} \right.

 Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha  = 2

 Β.   Αν  g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R   να αποδειχτεί ότι

   1.   Η g  είναι γνησίως αύξουσα

   2.   f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx}  < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)

 Γ.   Αν \int_\beta ^\gamma  {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma  \in R  να αποδειχτεί ότι  \beta  > \gamma

 Δ.   Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα  \int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} f\left( x \right)dx  ως προς f\left( 1 \right)

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα (εκτός ύλης)

Α.   Μελετήστε την μονοτονία της  hleft( x right) = x{e^x},,,,x in left( { - infty , - 1} right] 

Β.   Δίνεται συνάρτηση g  συνεχής στο  left[ {0,1} right) cup left( {1, + infty } right)  και παραγωγίσιμη στο  left( {0,1} right) cup left( {1, + infty } right).

      Δίνεται και η συνάρτηση  fleft( x right) = int_{gleft( x right)}^{ - 1} {frac{{{e^t}}}{t}dt} ,,,,forall x in left[ {0,1} right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι  gleft( x right) < 0,,,,forall x in left[ {0,1} right),,,kappa alpha iota ,,,gleft( x right) ge 0,,,,forall x in left( {1, + infty } right)

      Αν επιπλέον  f'left( x right) = frac{{gleft( x right){e^{gleft( x right)}}}}{{2sqrt x }},,,,forall x in left( {0,1} right)  και  gleft( 0 right) =  - 1  να αποδειχτεί ότι

   2.   gleft( x right) = frac{1}{{sqrt x  - 1}},,,,forall x in left[ {0,1} right)

   3.   fleft( x right) le 0,,,,forall x in left[ {0,1} right)

   4.   Η συνάρτηση  varphi left( x right) = fleft( x right) + frac{{sqrt x }}{e},,,,x in left[ {0,1} right)  είναι γνησίως αύξουσα.

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα (εκτός ύλης)

Δίνεται η παραγωγίσιμη και 1-1 συνάρτηση  g:left( {0,2} right) to left( {0, + infty } right)  με  gleft( 1 right) = 1.

Δίνεται και η συνάρτηση  fleft( x right) =  - 2int_1^{gleft( x right)} {frac{{ln t}}{{{{left( {t + 1} right)}^2}}}} dt  με  f'left( x right) = ln gleft( x right)

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της  f

Β.   Να αποδειχτεί ότι  

   1.   gleft( x right) = frac{{2 - x}}{x},,,,forall x in left( {0,2} right).

   2.   fleft( x right) = left( {x - 2} right)ln left( {2 - x} right) - xln x,,,,forall x in left( {0,2} right)

    

3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα

Α.   Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

   1.   int_0^x {t{e^t}dt} ,,,,x in R

   2.  int_0^x { - t{e^{ - t}}dt} ,,,,x in R

Β.   Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R  με

     f''left( x right) - fleft( x right) =  - 2x,,,,forall x in R. Αν f'left( 0 right) = 5,,,kappa alpha iota ,,,fleft( 0 right) = 1  

   1.   να αποδειχτεί ότι  fleft( x right) = 2x - {e^{ - x}} + 2{e^x}

   2.   Για κάθε x > 0 να δειχτεί ότι υπάρχει   xi  in left( {0,x} right):x,fleft( xi  right) = {x^2} + {e^{ - x}} + 2{e^x} - 3

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα

Δίνεται συνάρτηση  f  παραγωγίσιμη στο R  και υπάρχουν α,β∈R  με α<β  ώστε

int_alpha ^{frac{{alpha  + beta }}{2}} {fleft( x right)dx}  = int_{frac{{alpha  + beta }}{2}}^beta  {fleft( x right)dx}  = 0.

Να δείξετε ότι υπάρχει   {x_0} in R:,,,fleft( {{x_0}} right) le f'left( {{x_0}} right).

 

 

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα

Δίνεται η συνάρτηση  f:mathbb{R} to left( {0,,, + infty } right)  για την οποία ισχύουν: 

fleft( 1 right) = 1  και  f'left( x right) = 1 - frac{1}{{fleft( x right) + 1}},,,,forall x in mathbb{R}. Να δείξετε ότι:

Α.   f  γνησίως αύξουσα. 

Β.   fleft( x right) + ln fleft( x right) = x,,,,forall x in mathbb{R} 

Γ.   fleft( {e + 1} right) = e. 

Δ.   Να υπολογιστούν:  int_1^{e + 1} {fleft( x right)dx}   και  int_1^{e + 1} {ln fleft( x right)dx} .

 

 

 

6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left[ {0,1} \right] \to \left[ {0,1} \right]  με f\left( 0 \right) = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( 1 \right) = 1.

Αν η f  είναι κυρτή να αποδειχτούν

Α.  f'\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x \in \left( {0,1} \right]

Β.  f'\left( 1 \right) > 1

Γ.  x\,f'\left( x \right) > f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in \left( {0,1} \right]

Δ.  f\left( x \right) < x,\,\,\,\forall x \in \left( {0,1} \right)

Ε.  \int_\alpha ^{1 - \alpha } {f\left( t \right)\,} dt + \alpha  < \frac{1}{2},\,\,\,\forall \alpha  \in \left( {0,\frac{1}{2}} \right)

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση f:R \to R  με f\left( x \right)\,\,ln\,f\left( x \right) = {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R . Να αποδειχτούν

Α.  f\left( x \right) > 1,\,\,\,\forall \,x \in R

Β.   f  γνησίως αύξουσα και f\left( 1 \right) = e

Γ.  {f^2}\left( x \right) > {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R

Δ.   Αν f  συνεχής να βρεθεί η {f^{ - 1}}

E.   αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο να αποδειχτεί ότι \int_0^1 {{e^x}\,} ln\,f\left( x \right)dx = e + 1 - f\left( 0 \right) - \frac{1}{{f\left( 0 \right)}}