eMath:a - Κατεύθυνση

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 09 Μάι 2018

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση $f:R \to R$ με ${\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) + x}}{{{x^2} + x}} = 2$

Α. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο ${\rm M}\left( { - 1,f\left( { - 1} \right)} \right)$

είναι η   $\varepsilon :y = - 3x - 2$
Β.   Να υπολογιστεί το όριο ${\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)$
Γ.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ${x_o} < 0,\,\,\,f\left( {{x_o}} \right) = 0$

Δ. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση $2f\left( x \right) + x\,f'\left( x \right) = - \frac{1}{x}$ έχει αρνητική λύση
Ε. Αν το χωρίο Ω που περικλείεται από την ${C_f}$ , την ευθεία ε του ερωτήματος Γ1 και τον άξονα των y

έχει εμβαδό ${\rm E}\left( \Omega \right) = \frac{5}{2}$ τότε να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \,dx$

3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 09 Φεβρουάριος 2014

Έστω οι μιγαδικοί ${z_1} = alpha + beta i,,,kappa alpha iota ,,,{z_2} = gamma + delta i$ με και $left| {{z_1}} right| = left| {{z_2}} right| = 1$

Δίνεται και η εξίσωση ${w^2} - 2sqrt 2 ,w + {left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|^2} = 0,,,,,,left( 1 right)$ . Να αποδειχτεί ότι:

Α. $left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| = left| {{z_1} - {z_2}} right|$

Β. $sqrt 2 < left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right| le 2$

Γ. η εξίσωση (1) δεν έχει πραγματικές λύσεις

Δ. Αν ${w_1},{w_2}$ οι λύσεις της (1) τότε $left| {{w_1}} right| = left| {{w_2}} right| = left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|$

Ε. Η εξίσωση $left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|x = left( {3 + sqrt 2 } right)x - 3sqrt 2$ έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα $left( {0,left| {1 - {z_1}overline {{z_2}} } right|} right)$

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές (εκτός ύλης)

Επαναληπτικές 29 Ιούνιος 2013

Δίνεται η συνάρτηση $fleft( x right) = left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{e^{frac{{ - 1}}{x}}}left( {frac{3}{x} + frac{2}{{{x^2}}}} right),,,,x ne 0}{,,,0,,,,x = 0}end{array}} right.$