6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνονται οι μιγαδικοί  z,w  ώστε να ισχύει:  {overline z ^2} + w = {z^2}w,,,kappa alpha iota ,,,{{rm Re}nolimits} left( z right){{rm Im}nolimits} left( z right) ne 0.

Α.   Αν  w in R  να αποδειχτεί ότι:

      1.   Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z  είναι υπερβολή εκτός των κορυφών, της οποίας να βρεθούν οι εστίες.

      2.   w =  - 1

Β.   Αν  left| w right| = 1  να αποδειχτεί ότι  w =  - 1.

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός   z = frac{{{e^alpha } - 1}}{{{e^alpha } + 1}} + i cdot frac{{{e^alpha } + 1}}{{{e^alpha } - 1}},,,,alpha  in {R^*}.

Α.   Να δειχτεί ότι left| z right| > sqrt 2

Β.   Να αποδειχτεί ότι  forall y in left( { - infty , - 1} right) cup left( {1, + infty } right)  και μόνο, υπάρχει ακριβώς ένα alpha  in {R^*}  τέτοιο ώστε  y = frac{{{e^alpha } + 1}}{{{e^alpha } - 1}}.

Γ.   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z και να γίνει γραφική παράσταση.

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Για τους  z,w in mathbb{C}  ισχύουν  left| z right| = left| w right| = 2,,,kappa alpha iota ,,,z + wi = zw.

Α.   Να αποδειχτεί ότι zoverline z  = 4

Β.   Να αποδειχτεί ότι w = zi + 4

Γ.   Να δειχτεί ότι η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο με κέντρο left( {4,0} right)  και ακτίνα 2.

Δ.   Να υπολογιστούν οι  z,w .

3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ότι  left| {left( {1 - i} right)z - 2 + 2i} right| = 5sqrt 2 . Να βρείτε

Α.   Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων  Ν των μιγαδικών  w = z - zi

Β.   Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z.

Γ.   Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης:  {rm A} = left| {z - w} right|.

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Δίνονται οι μιγαδικοί  {z_1},{z_2},,,mu varepsilon ,,,left| {{z_1}} right| le 1 le left| {{z_2}} right| . Αν υπάρχει μιγαδικός  w   ώστε να ισχύει:

   {left| w right|^2} - 2left| {w - w{z_1}overline {{z_2}} } right| + {left| {{z_1} - {z_2}} right|^2} = 0:

Α.  Να δειχτεί ότι:  left| {{z_1}} right| = 1,  ή  left| {{z_2}} right| = 1

Β.  Να δειχτεί ότι:  left| {{z_1} + {z_2}} right| le 1 + left| {{z_1}{z_2}} right|

Γ.  Αν  left| {{z_1}} right| = left| w right| = 1

     1.  Να υπολογιστεί η απόσταση των εικόνων των  {z_1},{z_2}

     2.  Να δειχτεί ότι:  left| {{z_2}} right| le 2

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Δίνεται ο μιγαδικός z με  {{rm Re}nolimits} left( {{z^2}} right) =  - 1  και ο μιγαδικός w που η εικόνα του διαγράφει την γραμμή με εξίσωση  frac{{{x^2}}}{{left| {z + frac{2}{z}} right|}} + frac{{{y^2}}}{{left| z right|}} = 1.

A. Να δειχτεί ότι:  z in Cbackslash left{ {0,sqrt 2  cdot i, - sqrt 2  cdot i} right}

Β. Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ισοσκελής υπερβολή.

Γ. Αν επιπλέον το  left| z right|  είναι σταθερό να αποδειχτεί ότι:

    1. ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι κύκλος του οποίου να βρεθεί η ακτίνα.

    2.  left| {{w^2} + overline z ,,i} right| = sqrt {2{{rm Re}nolimits} left( {{{left| z right|}^2} - z,{w^2},i} right)}

15. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:R \to R\,\,\,{\rm{\mu \varepsilon }}\,\,\,f\left( 0 \right) = 1

και η συνάρτηση g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}},\,\,\,\forall x \in \left( {1, + \infty } \right)

Α.   Να ορίσετε την σύνθεση της συνάρτησης f  με την συνάρτηση g

Β.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση \varphi \left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{x},\,\,\,x \in \left( { - \infty ,0} \right)  είναι γνησίως φθίνουσα

Γ.   Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f  τέμνει την γραφική παράσταση

     της συνάρτησης  h\left( x \right) =  - \frac{1}{x},\,\,\,x < 0  σε σημείο με τετμημένη  - \frac{1}{2}  να λυθεί η εξίσωση  g\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} .

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Α.   Δίνεται η συνάρτηση   f\left( x \right) = 1 - \sqrt {x - 1} ,\,\,\,\forall x \in \left[ {1, + \infty } \right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι είναι αντιστρέψιμη

   2.   Να αποδειχτεί ότι {f^{ - 1}}\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1,\,\,\,\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right]

   3.   Να λυθεί η εξίσωση  {f^3}\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)

Β.   Να βρεθεί η συνάρτηση  g:\left( { - \infty ,1} \right] \to R   αν ισχύει  g\left( {f\left( x \right)} \right) = \sqrt {2x - 2} ,\,\,\,\forall x \ge 1

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση f\left( x \right) = {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R .

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( {\ln x} \right) > \frac{1}{x} - 1

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση  \frac{1}{{{e^{{e^x}}}}} - {e^{{e^x}}} < \frac{1}{e} - e

Δ.   Αν για την συνάρτηση  g:\left( { - \infty ,1} \right) \to R  ισχύει  f\left( {g\left( x \right)} \right) = \frac{1}{{1 - x}} - \left( {1 - x} \right),\,\,\,\forall x < 1 , να βρεθεί η συνάρτηση g