5. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = ln x,,,,x > 0,  και το σημείο  Mleft( {a,,,beta } right),,,mu varepsilon ,,,a > 1, που ανήκει στη γραφική παράσταση της  f .

Αν  varphi left( x right) = frac{{fleft( x right)}}{x}  τότε :

Α.   Να δείξετε ότι  varphi 'left( x right) = - f''left( x right) - f'left( x right)varphi left( x right)  για κάθε  x > 0.

Β.   Αν Α, Β είναι οι προβολές του Μ στους άξονες  x'x,,,y'y  αντίστοιχα να δείξετε ότι:  frac{{{rm O}{rm B}}}{{{rm O}{rm A}}} = varphi left( alpha right),,,,a > 1.

Γ.   Να δείξετε ότι ο λόγος frac{{{rm O}{rm B}}}{{{rm O}{rm A}}} γίνεται μέγιστος όταν το σημείο  Μ ταυτίζεται με το σημείο  {rm K}left( {e,,,1} right).

4. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = {v^3}x + frac{4}{{{x^2}}},,,,x in left( {0, + infty } right), όπου v ακέραιος αριθμός με v > 2.

Α.   Να μελετηθεί η  f   ως προς την μονοτονία.

Β.   Να μελετηθεί η f   ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι fleft( x right) ge 3{v^2}  για κάθε  x > 0 .

Γ.   Θεωρούμε την συνάρτηση gleft( x right) = {x^2} - frac{{2v + 30}}{{2v + 15}}x + 2012. Αν mu in mathbb{R}  είναι ο ρυθμός μεταβολής της gleft( x right)  για x = 1  να δείξετε ότι:

   1.   0 < mu < 1

   2.   αν ισχύει {v^3}mu + frac{4}{{{mu ^2}}} = 3{v^2}, τότε  mu = frac{2}{5}.

3. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο  left( {0,,, + infty } right) συνάρτηση  f   με  fleft( x right) > 0,  και  2sqrt x f'left( x right) = fleft( x right),,,,forall x > 0.

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,forall x > 0  τότε να δείξετε ότι:

Α.  Η  f  είναι γνήσια αύξουσα στο  left( {0,,, + infty } right)

Β.  Η  g   είναι γνήσια αύξουσα στο  left( {0,,, + infty } right)

Γ.  Δίνεται σημείο  Μ  της γραφικής παράστασης της  g'  με τετμημένη  x > 0  και Α,  Β οι προβολές του στους ημιάξονες  Οx και Oy  αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

     1.  Η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΒ είναι  Pleft( x right) = 2x + frac{1}{{sqrt x }},,,,x > 0

     2.  Η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΒ γίνεται ελάχιστη για   x = frac{1}{{2,,sqrt[3]{2}}}

2. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές Παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = {e^{2x - {x^2}}},,,,x in R

Α.  Να βρεθούν  f'left( x right),,,kappa alpha iota ,,,f''left( x right).

Β.   Να μελετηθεί η μονοτονία και τα ακρότατα της  f .

Γ.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο  {rm A}left( {2,fleft( 2 right)} right).

Δ.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο  {rm M}left( {alpha ,fleft( alpha right)} right),,,,alpha > 1.

Ε.   Να υπολογιστεί ο alpha > 1  αν η εφαπτομένη στο  {rm M}left( {alpha ,fleft( alpha right)} right)  τέμνει τον x'x  σε σημείο με ελάχιστη τετμημένη.

 

1. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Ορισμός

Συναρτήσεις

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f  για την οποία ισχύει fleft( x right) - fleft( {1 - x} right) = 2x - 1,,,,forall x in R.

Να δείξετε ότι:

A.   f'left( x right) + f'left( {1 - x} right) = 2,,,,forall x in R

B.   Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f  παράλληλη με την ευθεία  varepsilon :y = x .

Γ.    {lim }limits_{h to 0} frac{{fleft( {frac{1}{2} + h} right) - fleft( {frac{1}{2}} right)}}{h} = 1