4. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = {v^3}x + frac{4}{{{x^2}}},,,,x in left( {0, + infty } right), όπου v ακέραιος αριθμός με v > 2.

Α.   Να μελετηθεί η  f   ως προς την μονοτονία.

Β.   Να μελετηθεί η f   ως προς τα ακρότατα και να δειχθεί ότι fleft( x right) ge 3{v^2}  για κάθε  x > 0 .

Γ.   Θεωρούμε την συνάρτηση gleft( x right) = {x^2} - frac{{2v + 30}}{{2v + 15}}x + 2012. Αν mu in mathbb{R}  είναι ο ρυθμός μεταβολής της gleft( x right)  για x = 1  να δείξετε ότι:

   1.   0 < mu < 1

   2.   αν ισχύει {v^3}mu + frac{4}{{{mu ^2}}} = 3{v^2}, τότε  mu = frac{2}{5}.