5. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = ln x,,,,x > 0,  και το σημείο  Mleft( {a,,,beta } right),,,mu varepsilon ,,,a > 1, που ανήκει στη γραφική παράσταση της  f .

Αν  varphi left( x right) = frac{{fleft( x right)}}{x}  τότε :

Α.   Να δείξετε ότι  varphi 'left( x right) = - f''left( x right) - f'left( x right)varphi left( x right)  για κάθε  x > 0.

Β.   Αν Α, Β είναι οι προβολές του Μ στους άξονες  x'x,,,y'y  αντίστοιχα να δείξετε ότι:  frac{{{rm O}{rm B}}}{{{rm O}{rm A}}} = varphi left( alpha right),,,,a > 1.

Γ.   Να δείξετε ότι ο λόγος frac{{{rm O}{rm B}}}{{{rm O}{rm A}}} γίνεται μέγιστος όταν το σημείο  Μ ταυτίζεται με το σημείο  {rm K}left( {e,,,1} right).