3. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο  left( {0,,, + infty } right) συνάρτηση  f   με  fleft( x right) > 0,  και  2sqrt x f'left( x right) = fleft( x right),,,,forall x > 0.

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,forall x > 0  τότε να δείξετε ότι:

Α.  Η  f  είναι γνήσια αύξουσα στο  left( {0,,, + infty } right)

Β.  Η  g   είναι γνήσια αύξουσα στο  left( {0,,, + infty } right)

Γ.  Δίνεται σημείο  Μ  της γραφικής παράστασης της  g'  με τετμημένη  x > 0  και Α,  Β οι προβολές του στους ημιάξονες  Οx και Oy  αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

     1.  Η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΒ είναι  Pleft( x right) = 2x + frac{1}{{sqrt x }},,,,x > 0

     2.  Η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΒ γίνεται ελάχιστη για   x = frac{1}{{2,,sqrt[3]{2}}}