2. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Έστω  f:mathbb{R} to mathbb{R}  παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει :

fleft( {10 - x} right) = fleft( x right),,,,forall x in mathbb{R} 

Α.   Να δείξετε ότι η  f   δεν είναι γνήσια μονότονη.

Β.   Να δείξετε ότι    {lim }limits_{h to 0} frac{{fleft( {5 + h} right) - fleft( 5 right)}}{h} = 0

Γ.   Δίνεται η μεταβλητή X με τιμές 2, 4, 6, 8 σε δείγμα μεγέθους  v.

     Αν ισχύει  {v_i} = fleft( {{x_i}} right) για κάθε  i in left{ {1,2,3,4} right}, τότε να δείξετε ότι :

   1.    v  είναι άρτιος

   2.   Το ποσοστό των παρατηρήσεων με τιμή μεγαλύτερη ή ίση του 6 είναι 50%

1. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = frac{{Pleft( {rm A} right)}}{3}{x^3} - Pleft( {{rm A} cap {rm B}} right){x^2} + Pleft( {{rm A} cap {rm B}} right)x + 1 

όπου  Pleft( {{rm A} cap {rm B}} right) cdot Pleft( {{rm A} - {rm B}} right) ne 0,,,kappa alpha iota ,,,Pleft( {{rm A} cup {rm B}} right) ne 1. Να δειχτεί ότι:

Α.   0 < Pleft( {rm A} right) < 1

Β.   Η συνάρτηση  f  είναι γνήσια αύξουσα

Γ.   1 < fleft( {Pleft( {rm A} right)} right) < frac{{Pleft( {rm A} right)}}{3} + 1

Δ.   Αν ο ρυθμός μεταβολής της  f  γίνεται ελάχιστος για  {x_0} = frac{1}{2},,,kappa alpha iota ,,,Pleft( {rm A} right) = Pleft( {rm B} right)  τότε το ενδεχόμενο

      να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α, Β έχει πιθανότητα ίση με την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί

      το Α.