16. Β΄Λυκείου / Γενικής / Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = {x^3} + 2x - 4

Α.   Να αποδειχτεί ότι η  f  είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:  f\left( {f\left( x \right)} \right) > - 7

Γ.  

      1.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  {x^2} + 5x + 5 = y έχει λύση αν και μόνο αν  y \ge - \frac{5}{4}

      2.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση:   \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = f\left( \alpha \right),\,\,\,\alpha \in R

            έχει λύση εάν και μόνο εάν \alpha \ge 1

Δ.   Αν  \alpha = 2  να λυθεί η εξίσωση του ερωτήματος  Γ2.

Δίνεται η συνάρτηση 

Α.   Να αποδειχτεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση:

Γ.   να αποδειχτεί ότι η εξίσωση:  έχει λύση εάν και μόνο εάν

Δ.   Αν να λυθεί η εξίσωση του ερωτήματος Γ.

15. Β΄Λυκείου / Γενικής / Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται το πολυώνυμο  f\left( x \right) = {x^5} + 3x + 4

Α.   Να γίνει η διαίρεση  f\left( x \right):\left( {x + 1} \right)   και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης

Β.   Να αποδειχτεί ότι η  f  είναι γνησίως αύξουσα και να βρεθεί το πρόσημο του  f\left( x \right)

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  \forall x \in R,\,\,\,{x^2} + \frac{4}{{{x^2} + 1}} > x

Δ.    Να αποδειχτεί ότι  \forall x \in R,\,\,\,  {{{\left( {x + 1} \right)}^5}}\limits_{\,\,\,} - {x^5} + 3 > 0

10. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να δειχτεί ότι είναι περιττή

Β.   Να δειχτεί ότι η  f  είναι  γνησίως φθίνουσα και να υπολογιστεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της.

Γ.   Αν Α γωνία τριγώνου και ισχύει  f\left( {\eta \mu {\rm A}} \right) + f\left( {\sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) \ge 0  τότε να δειχτεί ότι:

   1.   Η Α είναι αμβλεία

   2.   - 1 < \varepsilon \varphi {\rm A} < 0

12. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

A.   Να αποδείξετε ότι:  \frac{1}{{\eta \mu x}} - \eta \mu x = \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x,\,\,\,x \ne \kappa \pi ,\,\,\,\forall \kappa \in Z .

B.   Αν  \sigma \upsilon \nu x \cdot \sigma \varphi x = \frac{8}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right)  τότε:

   1.   Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας .

   2.   Να δείξετε ότι: \frac{{\eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) \cdot \varepsilon \varphi \left( {\pi - x} \right)}}{{3\eta \mu \left( {\pi + x} \right) + 2}} = - \frac{1}{3}

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \varepsilon \varphi \left( {x - \alpha } \right)\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\alpha \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\varepsilon \varphi \alpha = - 3

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της  f

Β.   Αν 0 < \left| \theta \right| \le \frac{\pi }{4}  να αποδειχτεί ότι \forall x \in \left[ {\alpha - \left| \theta \right|,\alpha + \left| \theta \right|} \right]  ισχύει  \left| {f\left( x \right)} \right| \le 1

Γ.   Να βρεθούν τα κοινά σημεία της {C_f}  με την ευθεία  \varepsilon :y = - \frac{1}{3}