12. Β΄ Λυκείου / Γενικής / Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα γραφικής παράστασης συνάρτησης f με πεδίο ορισμού {\rm A} = R

η οποία δεν τέμνει τον άξονα x'x .

Καταγραφή

A.   Να δικαιολογηθεί γιατί η f δεν μπορεί να είναι περιττή.

B.   Αν η f είναι άρτια τότε:

   1.   Να σχεδιαστεί και η υπόλοιπη γραφική παράσταση της f , να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας καθώς και η μονοτονία της σε καθένα από αυτά.

   2.   Να αποδειχτεί ότι για κάθε x < 0 ισχύει: \frac{{f\left( x \right) - 1}}{x} > 0

   3.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( {\left| x \right|} \right) - f\left( {\left| {1 - x} \right|} \right) > 0

   4.   Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f και να αποδειχτεί ότι για κάθε \alpha ,\beta \in R υπάρχει {x_o} \in Rώστε f\left( {{x_o}} \right) = f\left( \alpha \right)f\left( \beta \right).

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται συνάρτηση f:\left( {0,\pi } \right) \to R  η οποία δέχεται εφαπτόμενη ευθεία (ε)

στο σημείο της {\rm A}\left( {\alpha ,f\left( \alpha \right)} \right),\,\,\,\alpha \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right).

Αν η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα x'x  γωνία \alpha

Α.   Να αποδειχτεί ότι   {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x - f\left( \alpha \right)\sigma \upsilon \nu \alpha }}{{x - \alpha }} = \eta \mu \alpha \cdot \left( {1 - f\left( \alpha \right)} \right)

Β.   Αν {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{x\sigma \upsilon \nu x - \alpha \sigma \upsilon \nu \alpha }}{{\eta \mu x - \eta \mu \alpha }} = 1 + \alpha   και   {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{f\left( x \right)\sigma \upsilon \nu x - f\left( \alpha \right)\sigma \upsilon \nu \alpha }}{{x - \alpha }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

   1.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha = \frac{{3\pi }}{4}

   2. Να αποδειχτεί ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται και στην  g\left( x \right) = {\left( {x - \frac{{3\pi }}{4}} \right)^2} - x + \frac{{3\pi }}{4}.

8. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\sqrt {{x^2} - x + 4} + x,\,\,\,x < 0}\\ {\eta \mu x - \frac{x}{4} + \alpha ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 0} \end{array}} \right.,  \alpha \in R.

Α.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι  \forall x < 0,\,\,\,f'\left( x \right) > 0

Γ.   Αν η ευθεία  y = \lambda x + 3  εφάπτεται στην {C_f} στο σημείο  \left( {\frac{\pi }{2},f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\lambda = - \frac{1}{4}

   2.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση f  είναι παραγωγίσιμη στο  {x_o} = 0.

14. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {4 + {x^2}} - \sqrt {4 - {x^2}} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g είναι γνησίως φθίνουσα στο \left[ { - 2,0} \right] και γνησίως αύξουσα στο \left[ {0,2} \right]

   2.   η g έχει ελάχιστο το 0 και μέγιστο το  2\sqrt 2 .

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση: \sqrt {4 + {x^2}} - \sqrt {4 - {x^2}} = - \sqrt 2 x.

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Δίνονται οι συναρτήσεις  f,g:\left[ { - \pi ,\pi } \right] \to R  με f\left( x \right) = \eta \mu x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x

Από τυχαίο σημείο {\rm A}\left( {x,f\left( x \right)} \right)  φέρνουμε κάθετη στον άξονα x'x η οποία θα τέμνει την {C_g}  στο σημείο Β.

Α.   Να βρεθούν τα σημεία Α και Β όταν ισχύει \left( {{\rm O}{\rm A}} \right) = \left( {{\rm O}{\rm B}} \right)  όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Β.   Αν ΟΑΒ είναι τρίγωνο με εμβαδό {\rm E}\left( x \right)

   1.  Να αποδειχτεί ότι: x \ne - \frac{{3\pi }}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne \frac{\pi }{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x \ne 0

   2.   Να αποδειχτεί ότι: {\rm E}\left( x \right) = \frac{{\left| {x\left( {\eta \mu x - \sigma \upsilon \nu x} \right)} \right|}}{2}

   3.   Να βρεθεί το σημείο Α όταν η απόστασή του από τον άξονα y'y ισούται με το διπλάσιο του εμβαδού του ΟΑΒ.