11. Γ΄Λυκείου/Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός  z  με  {left( {z - 3i} right)^4}{left( {overline z + 3i} right)^2} = - 64i

Α.   Να αποδειχτεί ότι η εικόνα Μ του z ανήκει σε κύκλο C με κέντρο  {rm K}left( {0,3} right)  και ακτίνα  rho = 2

Β.   Αν   {{rm Re}nolimits} left( z right) > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  z = sqrt 2 + left( {3 - sqrt 2 } right)i

   2.   Αν  {left( {z - 3i} right)^nu } in R,,,,nu in {rm N}  να δειχτεί ότι  nu = 4kappa ,,,,kappa in {rm N}

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

 Δίνεται συνάρτηση  g  ορισμένη στο  {rm A} = left( { - infty ,0} right]  και γνήσια φθίνουσα σε αυτό  με

 gleft( x right) = fleft( x right) - {x^2},,,,forall x le 0

Α.   Να δειχτεί ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο  left( { - infty ,0} right].

Β.   Αν  gleft( 0 right) = 1  να δειχτεί ότι  fleft( {rm A} right) subseteq left[ {1, + infty } right).

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση:  gleft( { - {x^2}} right) - gleft( {2x + 1} right) ge - {x^4} + 4{x^2} + 4x + 1.

1. B΄ Λυκείου/ Γενικής / Συστήματα

Συστήματα

Δίνεται το σύστημα  begin{array}{l}left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{alpha _1}x + {beta _1}y = {gamma _1}}{{alpha _2}x + {beta _2}y = {gamma _2}}end{array}} right.end{array}   με ορίζουσες  D,,,,{D_x},,,,{D_y}.

Αν ισχύουν:  {D_x} < {D_y},,,,,,,{D_x} + {D_y} = 5D,,,,,,kappa alpha iota ,,,,,,{D_x}{D_y} = 6{D^2}

A.   Να αποδειχτεί ότι το σύστημα έχει μία μοναδική λύση.

Β.   Να λυθεί το σύστημα.

Γ.   Έστω η λύση του συστήματος είναι η  left( {3,2} right),  και   {gamma _1} = {gamma _2} = 1  

   1.   Να αποδειχτεί ότι  {alpha _1}{beta _2} < {alpha _2}{beta _1}

   2.   Να αποδειχτεί ότι  {beta _2} < {beta _1}

   3.   Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκουν τα σημεία  left( {{alpha _1},{beta _1}} right),,,,kappa alpha iota ,,,left( {{alpha _2},{beta _2}} right)

10. Γ΄Λυκείου/Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός  z = frac{3}{{alpha + 3i}},,,,alpha in R .

Α.   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ του z.

Β.   Να δείξετε ότι:  left| {2z + i} right| = 1 

Γ.   Αν  v = 2z + i + frac{1}{{2z + i}}  να δειχτεί ότι   v in R,,,kappa alpha iota ,,, - 2 le v le 2 .

Δ.   Αν  w = frac{3}{{beta + 3i}},,,,beta in R,,,kappa alpha iota ,,,{{rm Re}nolimits} left( {zleft( { zlimits^ - - wlimits^ - } right)} right) = 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  {left| z right|^2} + {left| {z - w} right|^2} = {left| w right|^2}

   2.   Να αποδειχτεί ότι  {{rm Re}nolimits} left( {frac{w}{z}} right) = 1

   3.   Να υπολογιστεί ο  w.

6. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  alpha limits^ to ,,,, beta limits^ to   ώστε :  { alpha limits^ to ^2} - 4 alpha limits^ to cdot beta limits^ to + 3{ beta limits^ to ^2} = 0,,,kappa alpha iota ,,, alpha limits^ to cdot beta limits^ to > 0.

Α.   Να δειχτεί ότι:  left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right| = left| { beta limits^ to } right|.

Β.   Να δειχτεί ότι:  left( { { alpha limits^ to , beta limits^ to }limits^^ } right) in left[ {0,frac{pi }{6}} right].

Γ.   Αν  left( { { alpha limits^ to , beta limits^ to }limits^^ } right) = frac{pi }{6}  να δειχτεί ότι:  left| { alpha limits^ to } right| = sqrt 3 left| { beta limits^ to } right|.