5. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Α.   Αν η συνάρτηση  fleft( x right) = sqrt {{x^2} - 2sqrt {{{ alpha limits^ to }^2}{{ beta limits^ to }^2}} x + {{left( { alpha limits^ to cdot beta limits^ to } right)}^2}}    έχει πεδίο ορισμού το R  να δειχτεί ότι  alpha limits^ to // beta limits^ to .

 

 

Β.   Αν η συνάρτηση  fleft( x right) = sqrt {{x^2} - 2left| { alpha limits^ to } right|x + 2 alpha limits^ to cdot beta limits^ to - {{ beta limits^ to }^2}}    έχει πεδίο ορισμού το R να δειχτεί ότι alpha limits^ to = beta limits^ to .

4. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνεται το διάνυσμα  alpha limits^ to ,,,mu varepsilon ,,,left| { alpha limits^ to } right| = 1  και το  beta limits^ to    ώστε να ισχύει:  2left| { alpha limits^ to + beta limits^ to } right| = sqrt {4 alpha limits^ to cdot beta limits^ to + 3}

Α.   Να δειχτεί ότι:   alpha limits^ to uparrow downarrow beta limits^ to

Β.   beta limits^ to = - frac{1}{2} alpha limits^ to

3. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to ,,,, beta limits^ to    και τα  kappa limits^ to = alpha limits^ to - 4 beta limits^ to ,,,, lambda limits^ to = 2 alpha limits^ to - 2 beta limits^ to    ώστε  left| { kappa limits^ to } right| = left| { lambda limits^ to } right|.

Α.   Να δειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to } right| = 2left| { beta limits^ to } right|

Β.   Να δειχτεί ότι    kappa limits^ to cdot lambda limits^ to = 4{ beta limits^ to ^2}left( {4 - 5sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right)} right)

Γ.   Να αποδειχτεί η ισοδυναμία:   left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right) = frac{pi }{3} Leftrightarrow left( {widehat { kappa limits^ to , lambda limits^ to }} right) = frac{pi }{3} .

2. B΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to ,,,, beta limits^ to   

και τα  ulimits^ to = 2 alpha limits^ to - 3 beta limits^ to ,,,, vlimits^ to = 3 alpha limits^ to - 2 beta limits^ to   ώστε   left| { ulimits^ to } right| = left| { vlimits^ to } right|.

A.   Να δειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to } right| = left| { beta limits^ to } right|

B.   Να δειχτεί ότι  ulimits^ to cdot vlimits^ to = { alpha limits^ to ^2}left( {12 - 13sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right)} right)

Γ.   Να αποδειχτεί η ισοδυναμία:  sigma upsilon nu left( {widehat { alpha limits^ to , beta limits^ to }} right) = frac{2}{3}  Leftrightarrow  sigma upsilon nu left( {widehat { ulimits^ to , vlimits^ to }} right) = frac{2}{3} 

1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Διανύσματα/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Να βρεθεί - αν υπάρχει - διάνυσμα     alpha limits^ to = left( {{beta ^2} - {gamma ^2},,,,,4{beta ^2} - {gamma ^2} + 2gamma } right),,,,beta ,gamma in R    

για το οποίο δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης και έχει left| { alpha limits^ to } right| = 1.