9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνονται οι  z,w in C   και ισχύουν τα εξής: 
                  z + frac{1}{w} = 2eta mu theta

                  frac{z}{w} = sigma upsilon {nu ^2}theta ,,,,theta in left[ { - frac{pi }{4},frac{pi }{4}} right]

                  {{rm Im}nolimits} left( {{textstyle{1 over w}}} right) le 0

Α.   Να υπολογιστούν οι  z,w

Β.   Να υπολογιστούν τα μέτρα left| z right|,,,left| w right|

Γ.   Να βρεθεί η γραμμή στην οποία κινείται η εικόνα του  z.

Δ.   Να δειχτεί ότι  left| {z - w} right| le frac{{sqrt 2 }}{2} .

Ε.   Να αποδειχτούν:

      1.   left| {z - 1} right|,,left| w right| = left| {overline w - 1} right|

      2.   left| {w - i} right|,, + ,,left| {zw - i} right| ge left| {w - 1} right|

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός     z = ln x + i cdot ln left( {x + 1} right),,,,x > 0

Α.   Να βρεθούν οι τιμές του x  αν z in {rm I}

Β.   Να δειχτεί ότι   z notin R,,,,forall x > 0

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:  {left| z right|^2} = 2ln x cdot ln left( {{x^2} + x} right) + 2{ln ^2}x,,,,x in left( {0,1} right).

Δ.   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για κάθε x > 0.

7. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνονται οι μιγαδικοί  z,w  ώστε να ισχύει: overline z + w = zoverline w .

A.    Να αποδειχτούν

      1.   {{rm Re}nolimits} left( {z + w} right) = {{rm Re}nolimits} left( {zoverline w } right)

      2.   {{rm Im}nolimits} left( {z - w} right) + {{rm Im}nolimits} left( {zoverline w } right) = 0

      3.   {{rm Im}nolimits} left( {left( {z + 1} right)left( {overline w + 1} right)} right) = 0

B.   Αν ισχύει    left| w right| = 1 + left| {frac{w}{z}} right|   να δειχτεί ότι οι διανυσματικές ακτίνες των  overline z ,w  είναι ομμόροπες.

Γ.   Αν ισχύει  left| w right| le left| z right|    να δειχτεί ότι  left| w right| le 2

6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνονται οι μιγαδικοί  z,w  ώστε να ισχύει:  {overline z ^2} + w = {z^2}w,,,kappa alpha iota ,,,{{rm Re}nolimits} left( z right){{rm Im}nolimits} left( z right) ne 0.

Α.   Αν  w in R  να αποδειχτεί ότι:

      1.   Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z  είναι υπερβολή εκτός των κορυφών, της οποίας να βρεθούν οι εστίες.

      2.   w = - 1

Β.   Αν  left| w right| = 1  να αποδειχτεί ότι  w = - 1.

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός   z = frac{{{e^alpha } - 1}}{{{e^alpha } + 1}} + i cdot frac{{{e^alpha } + 1}}{{{e^alpha } - 1}},,,,alpha in {R^*}.

Α.   Να δειχτεί ότι left| z right| > sqrt 2

Β.   Να αποδειχτεί ότι  forall y in left( { - infty , - 1} right) cup left( {1, + infty } right)  και μόνο, υπάρχει ακριβώς ένα alpha in {R^*}  τέτοιο ώστε  y = frac{{{e^alpha } + 1}}{{{e^alpha } - 1}}.

Γ.   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z και να γίνει γραφική παράσταση.