4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Για τους  z,w in mathbb{C}  ισχύουν  left| z right| = left| w right| = 2,,,kappa alpha iota ,,,z + wi = zw.

Α.   Να αποδειχτεί ότι zoverline z = 4

Β.   Να αποδειχτεί ότι w = zi + 4

Γ.   Να δειχτεί ότι η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο με κέντρο left( {4,0} right)  και ακτίνα 2.

Δ.   Να υπολογιστούν οι  z,w .

3. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί Αριθμοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ότι  left| {left( {1 - i} right)z - 2 + 2i} right| = 5sqrt 2 . Να βρείτε

Α.   Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων  Ν των μιγαδικών  w = z - zi

Β.   Τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z.

Γ.   Την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης:  {rm A} = left| {z - w} right|.

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Α.   Δίνονται οι συναρτήσεις   gleft( x right) = {e^x}left( {x - 4} right),,,,x in R   και  hleft( x right) = frac{{{e^x} - 1}}{{{x^3}}},,,,x in {R^*}

    1.   Να μελετηθεί η μονοτονία και η κυρτότητα της  g .

    2.   Να αποδειχτεί  ότι   {x^4} cdot h'left( x right) = g'left( x right) + 3,,,,forall x in {R^*}

Β.   Δίνεται η συνάρτηση  f   συνεχής στο  left[ {0, + infty } right)  και δύο φορές παραγωγίσιμη στο  left( {0, + infty } right).

   Αν ισχύει  fleft( 1 right) = e - 1  και    {x^2} cdot f''left( x right) = {e^x}left( {x - 2} right) + 2fleft( x right),,,,forall x > 0   να δειχτεί ότι

    1.    fleft( x right) = left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{frac{{{e^x} - 1}}{x},,,,x > 0}{1,,,,x = 0}end{array}} right.

    2.   forall x > 0  υπάρχει  xi in left( {0,x} right):,,,fleft( x right) = {e^xi }.

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

 Α.   Δίνεται η συνάρτηση  gleft( x right) = x,{e^x},,,,x in R . Να δειχτεί ότι

    1.   g   γνήσια αύξουσα  left[ {0, + infty } right)

    2.   gleft( x right) < {e^{2x}},,,,forall x in R

Β.   Δίνεται συνάρτηση  f:left[ {0, + infty } right) to R  με   fleft( x right),{e^{fleft( x right)}} = x,,,,forall x ge 0 . Να αποδειχτούν

    1.   fleft( x right), ge 0,,,,forall x ge 0

    2.   f    γνήσια αύξουσα στο   left[ {0, + infty } right) 

    3.    2fleft( x right), > ln x,,,,forall x > 0 

    4.    {lim }limits_{x to + infty } fleft( x right) = + infty

    5.   Αν επιπλέον είναι  f  συνεχής στο  left[ {0, + infty } right)  τότε

        α. είναι και παραγωγίσιμη με  f'left( x right) = frac{1}{{x + {e^{fleft( x right)}}}},,,,forall x ge 0

        β.  forall {x_1},{x_2} in left[ {0, + infty } right):,,,left| {fleft( {{x_1}} right) - fleft( {{x_2}} right)} right| le left| {{x_1} - {x_2}} right|

        γ.  forall x > 0:,,,,,,x,f'left( x right) < fleft( x right) < x

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές (εκτός ύλης)

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση    fleft( x right) = left{ {begin{array}{ccccccccccccccc}{{e^{frac{{ - 1}}{x}}}left( {frac{3}{x} + frac{2}{{{x^2}}}} right),,,,x ne 0}{,,,0,,,,x = 0}end{array}} right.

A.   Να βρεθούν οι ασύμπτωτές της

B.   Να μελετηθεί η μονοτονία της

Γ.   Να δειχτεί ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη στο  left[ {0, + infty } right)  με  συνεχή f' σε αυτό.

Δ.   Να δειχτεί ότι   {lim }limits_{alpha to + infty } intlimits_{alpha + 1}^alpha {frac{{ - 3{x^2} - x + 2}}{{{x^2}left( {3x + 2} right)}}} ,dx = 0

Ε.   Να δειχτεί ότι forall x < 0  υπάρχει  xi in left( { - infty , - 1} right) cup left( { - 1,0} right)   τέτοιο ώστε

      left( {x + 1} right)fleft( xi right) = {x^2}fleft( x right) + 3intlimits_{ - 1}^x {{e^{ - ,frac{1}{t}}}} dt.

Ζ.    Να δειχτεί ότι  forall x < - 1  ισχύει:   left( {x + 1} right)fleft( x right) < intlimits_{ - 1}^x {fleft( t right),} dt < - eleft( {x + 1} right)