2. Β΄Λυκείου/ Γενικής/ Πολυωνυμικές εξισώσεις

Πολυώνυμα

A.   Δίνεται ότι η εξίσωση   2{beta ^2}{x^3} + 2{beta ^2}alpha {x^2} + 4{beta ^2}alpha x + 2{beta ^2}alpha - 2alpha beta + alpha = 0,,,,alpha beta ne 0    (1)

     έχει λύση τον αριθμό alpha . 

      1.   Να αποδειχτεί ότι  \beta = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha = - \frac{1}{2}     

      2.   Να λυθεί η εξίσωση  (1).

B.   Δίνεται το πολυώνυμο    {rm P}left( x right) = 12{x^3} - 4{x^2} - 1

     1.   Να γίνει η διαίρεση    {rm P}left( x right):left( {6{x^2} + x - 1} right)

     2.   Να βρεθούν οι τιμές του  x  για τις οποίες η γραφική παράσταση

           του πολυωνύμου βρίσκεται κάτω από την ευθεία  varepsilon :y = 3x - 2.

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Α.   Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης  hleft( x right) = frac{1}{{{x^3}}} - x,,,,,,x in left( { - infty ,0} right)

Β.   Δίνεται η συνάρτηση  g:left( {0, + infty } right) to left( { - infty ,0} right)  και ισχύει  {g^4}left( x right) + {g^3}left( x right) cdot ln x = 1,,,,,forall x > 0

     1.   Να αποδειχτεί ότι   g  γνήσια φθίνουσα στο left( {0, + infty } right)

     2.   Να βρεθεί η συνάρτηση  {g^{ - 1}}

     3.   Να λυθεί :     gleft( x right) > - 1

1. Α΄ Λυκείου/ Συναρτήσεις

Εισαγωγή στις Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση    fleft( x right) = frac{{sqrt { - x} - 2}}{{x + 4}} .

Α.   Να αποδειχτεί ότι

      1.   Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι     {rm A} = left( { - infty , - 4} right) cup left( { - 4,0} right]

      2.   fleft( x right) = - frac{1}{{ {sqrt { - x} + 2}limits_{}^{} }}   ,  για κάθε   x in {rm A}

      3.   Η συνάρτηση  f  είναι γνήσια φθίνουσα

Β.

      1.   Να αποδειχτεί ότι   - sqrt {17} < - sqrt {26} + 1

      2.   Να συγκριθούν οι αριθμοί   fleft( { - sqrt {17} } right),,,kappa alpha iota ,,,fleft( { - sqrt {26} + 1} right)

1. A΄ Λυκείου/ Ανισώσεις/ Ανισώσεις 2ου βαθμού

Ανισώσεις

Δίνεται ότι η εξίσωση    - 3{x^2} + 8x + {gamma ^2} - 4gamma + 3 = 0      έχει λύσεις τους αριθμούς  alpha ,,,,,,kappa alpha iota ,,,,,,frac{{ - 1}}{alpha } ,  όπου  alpha < 0 .

Α.   Να αποδειχτεί ότι  gamma = 0  ή  gamma = 4

Β.   Να υπολογιστεί ο αριθμός  alpha

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση:    xleft| { - 3{x^2} + 8x + 3} right| = left| x right|left( {3{x^2} - 8x - 3} right)       

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές (εκτός ύλης)

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση    fleft( x right) = intlimits_2^x {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt,,,,,x > 0

A.   Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.

B.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   η  f  έχει μοναδικό σημείο καμπής  left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right).

   2.   f'left( {{x_0}} right) = frac{1}{{2{x_0}^2}}

   3.   intlimits_{frac{1}{2}}^1 {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt = intlimits_2^1 {frac{{ln t}}{{1 + {t^2}}}} ,dt

   4.    η εξίσωση  fleft( x right) = 0  έχει ακριβώς δύο λύσεις στο R

   5.   υπάρχουν   {xi _1},{xi _2} in left( {0, + infty } right):,,,,,,f'left( {{xi _1}} right) + 2f'left( {{xi _2}} right) = 0