20. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:\left( { - \frac{\pi }{2},0} \right] \to R\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f\left( x \right) = \varepsilon \varphi x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,g\left( x \right) = \sqrt { - x}  .

Έστω το τυχαίο σημείο {\rm M}\left( {x,g\left( x \right)} \right),\,\,\,x \ne 0  της γραφικής παράστασης της g και ότι η κάθετη από το Μ στον άξονα των τετμημένων τέμνει αυτόν στο σημείο Α και την γραφική παράσταση της f στο Β. Αν d\left( x \right)  είναι η απόσταση του σημείου Μ από το σημείο \Gamma \left( { - 1,0} \right) και {\rm E}\left( x \right) το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) τότε:

Α.   Να αποδειχτεί ότι d\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + x + 1} ,\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right) και {\rm E}\left( x \right) = \frac{{x\,\varepsilon \varphi x}}{2},\,\,\,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο Μ τέτοιο ώστε d\left( x \right) = {\rm E}\left( x \right) .

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) - 1}}{x}

Δ.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση \varphi \left( x \right) = d\left( x \right) + {\rm E}\left( x \right) παίρνει την τιμή 1 τουλάχιστον μία φορά στο διάστημα \left( { - \frac{\pi }{2},0} \right).

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} - \sqrt {x + 4} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g είναι γνησίως φθίνουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g έχει ελάχιστο το - 2\sqrt 2   και μέγιστο το 2\sqrt 2 .

Δ.   Να δειχτεί ότι για κάθε \alpha ,\beta \in {{\rm A}_g}  ισχύει  \,g\left( \alpha \right) + g\left( \beta \right) \ge - 4\sqrt 2 .

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g\left( x \right) = \sqrt {x + 2} - \sqrt {2 - x} .

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

Β.   Να δειχτεί ότι είναι περιττή.

Γ.   Να δειχτεί ότι

   1.   η g  είναι γνησίως αύξουσα και να μελετηθεί το πρόσημό της.

   2.   η g  έχει ελάχιστο το -2 και μέγιστο το 2.

   3.   για κάθε  \alpha ,\beta \in {{\rm A}_g}  ισχύει g\left( \alpha \right) + g\left( \beta \right) \le 4

19. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνάρτηση  f:R \to R  για την οποία ισχύουν τα εξής:

            • f  συνεχής στο  R - \left\{ { - 2, - 1} \right\}

            • f\left( x \right) > {x^2} + 2x,\,\,\,\forall x \in R

            •  {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{f\left( x \right)}}{{x + 2}} = \alpha \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{x + 1}} = \beta \in R

            • Η εξίσωση f\left( x \right) = 0  έχει μοναδική λύση {x_o}

Να αποδειχτούν

Α.  \alpha = - 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta = 0

Β.   η συνάρτηση f  δεν είναι συνεχής στο \left\{ { - 1, - 2} \right\}

Γ.   {x_o} \in \left( { - 1,0} \right)

Δ.   η εξίσωση f\left( x \right) = x  έχει λύση και κάθε λύση της ανήκει στο διάστημα \left( { - 1,0} \right).

18. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνάρτηση f:\left( { - \infty ,2} \right) \to R  με f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 2}},\,\,\,\forall x < 2

Α.   Να δειχτεί ότι η  f είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση: f\left( {2x} \right) < \frac{1}{2}

Γ.   Να βρεθεί συνάρτηση g αν ισχύει  f\left( {g\left( x \right)} \right) = \frac{{\ln \left| x \right|}}{{\ln \left| x \right| - 1}},\,\,\,\forall x \in \left( { - e,0} \right) \cup \left( {0,e} \right)

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση: \left( {f \circ g} \right)\left( {{e^{{x^2}}}} \right) = \frac{{2x}}{{x + 1}}

Ε.   Να λυθεί στο \left( { - \infty ,0} \right]  η ανίσωση:  \eta \mu f\left( x \right) \ge \frac{{\left( {\eta \mu f\left( x \right) - 2} \right)f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - 2}}