3. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο  left( {0,,, + infty } right) συνάρτηση  f   με  fleft( x right) > 0,  και  2sqrt x f'left( x right) = fleft( x right),,,,forall x > 0.

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,forall x > 0  τότε να δείξετε ότι:

Α.  Η  f  είναι γνήσια αύξουσα στο  left( {0,,, + infty } right)

Β.  Η  g   είναι γνήσια αύξουσα στο  left( {0,,, + infty } right)

Γ.  Δίνεται σημείο  Μ  της γραφικής παράστασης της  g'  με τετμημένη  x > 0  και Α,  Β οι προβολές του στους ημιάξονες  Οx και Oy  αντίστοιχα. Να δείξετε ότι:

     1.  Η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΒ είναι  Pleft( x right) = 2x + frac{1}{{sqrt x }},,,,x > 0

     2.  Η περίμετρος του ορθογωνίου ΟΑΜΒ γίνεται ελάχιστη για   x = frac{1}{{2,,sqrt[3]{2}}}

1. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Α.   Δίνεται η συνάρτηση με τύπο  fleft( x right) = x + frac{1}{x},,,,x in {R^*}. Να δείξετε ότι:

   1.   Η  {C_f}  είναι συμμετρική ως προς το  {rm O}left( {0,0} right)

   2.   Για κάθε  {x_1},,,{x_2} in {R^*},,,mu varepsilon ,,,{x_1} ne {x_2}  ισχύει:  frac{{fleft( {{x_2}} right) - fleft( {{x_1}} right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = frac{{{x_1}{x_2} - 1}}{{{x_1}{x_2}}} .

   3.   f  γνησίως αύξουσα στο  left[ {1,,, + infty } right).

   4.   Για κάθε  x > 0:,,,fleft( x right) ge 2 . Πότε ισχύει το ίσον;

Β.   Αν   gleft( x right) = frac{{left( {{x^2} + 1} right)left( {x + 1} right)}}{{xsqrt x }},,,,x > 0,  τότε να δείξετε ότι:

   1.   Για κάθε x > 0:  gleft( x right) = fleft( x right) cdot fleft( {sqrt x } right)

   2.   min g = 4

3. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

Δίνεται ο αριθμός   alpha = sqrt {sqrt {x - 1} - sqrt {x - 2} } - sqrt {sqrt {x - 1} + sqrt {x - 2} } .

Α.   Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του πραγματικού αριθμού  x  ώστε να ορίζεται ο  alpha .

Β.   Να δειχτεί ότι:  {alpha ^2} = 2sqrt {x - 1} - 2.

Γ.   Αν  x = 10  να δειχτεί ότι ο  alpha   είναι ακέραιος και να βρεθεί η τιμή του.

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση:  {alpha ^2} = 2x - 4.

2. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

Α.  Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:  {rm A} = sqrt {{alpha ^2} - 4alpha + 4} cdot sqrt {4 + 4alpha + {alpha ^2}} - sqrt {16 - 8{alpha ^2} + {alpha ^4}} ,,,,alpha in R 

Β.  Αν   frac{1}{3} le x le 2   να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:  {rm B} = sqrt {9{x^2} - 6x + 1} + 3sqrt {{x^2} + 4 - 4x}

2. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνονται οι μιγαδικοί  {z_1},{z_2},,,mu varepsilon ,,,left| {{z_1}} right| le 1 le left| {{z_2}} right| . Αν υπάρχει μιγαδικός  w   ώστε να ισχύει:

   {left| w right|^2} - 2left| {w - w{z_1}overline {{z_2}} } right| + {left| {{z_1} - {z_2}} right|^2} = 0:

Α.  Να δειχτεί ότι:  left| {{z_1}} right| = 1,  ή  left| {{z_2}} right| = 1

Β.  Να δειχτεί ότι:  left| {{z_1} + {z_2}} right| le 1 + left| {{z_1}{z_2}} right|

Γ.  Αν  left| {{z_1}} right| = left| w right| = 1

     1.  Να υπολογιστεί η απόσταση των εικόνων των  {z_1},{z_2}

     2.  Να δειχτεί ότι:  left| {{z_2}} right| le 2