eMath:a eMath:a
eMath:a eMath:a
  • Αρχική
  • Α Λυκείου
    • Θεωρία Συνόλων
    • Πιθανότητες
    • Πραγματικοί Αριθμοί
    • Εξισώσεις
    • Ανισώσεις
    • Πρόοδοι
    • Συναρτήσεις - Βασικές Έννοιες
    • Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων
    • Επαναληπτικές
  • Β Λυκείου
    • Γενική
      • Συστήματα
      • Συναρτήσεις
      • Τριγωνομετρία
      • Πολυώνυμα
      • Εκθετική & Λογαριθμική
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Διανύσματα
      • Ευθεία
      • Κύκλος
      • Παραβολή Έλλειψη Υπερβολή
      • Επαναληπτικές
  • Γ Λυκείου
    • Γενική
      • Συναρτήσεις
      • Στατιστική
      • Πιθανότητες
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Μιγαδικοί
      • Συναρτήσεις Βασικά
      • Όριο - Συνέχεια
      • Παράγωγος Βασικά
      • Θεωρήματα Παραγώγων
      • Ολοκληρώματα
      • Επαναληπτικές
  • Geogebra
    • Α Λυκείου
    • Β Λυκείου Γενικής
    • Β Λυκείου Κατεύθυνσης
    • Γ Λυκείου Γενικής
    • Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
  • Επικοινωνία

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά 28 Δεκέμβριος 2012

Δίνεται η συνάρτηση  f:left[ {0, + infty } right) to left( {0, + infty } right)  για την οποία  υπάρχει το   {lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) - 1}}{x} = alpha  in R. 

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,x ge 0  και ισχύει  fleft( x right)gleft( x right) = x,,,,forall x in left[ {0, + infty } right)

Α.  Να δειχτεί ότι  fleft( x right) ge 1,,,,forall x ge 0

Β.  Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0

Γ.  Να δειχτεί ότι  g'left( 0 right) = 1  και  f'left( 0 right) = 1

Δ.  Δίνεται ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο  {x_0} in left[ {0, + infty } right).

     Να δειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο  {rm M}left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right)

     τέμνει τον άξονα x'x και μάλιστα σε σημείο με τετμημένη   - fleft( {{x_0}} right).

Ε.  Δίνεται ότι  η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη και  fleft( {2{e^2}} right) = {e^2}. 

     Να δειχτεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της  {C_f}  η οποία διέρχεται από το σημείο left( {0,2} right).

3. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια 18 Δεκέμβριος 2012

Δίνεται η συνεχής και γνήσια αύξουσα συνάρτηση f ορισμένη στο {rm A} = left( {0,e} right]   με   fleft( 1 right) = 1,,,kappa alpha iota ,,,fleft( {rm A} right) = left( {0,e} right].

Δίνεται και η συνάρτηση   gleft( x right) = {ln ^2}fleft( x right) - ln {f^2}left( x right) + 2.

Α.  Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της  g.

B.  Να αποδειχτεί ότι:   fleft( e right) = e,,,kappa alpha iota ,,, {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) = 0

Γ.  Να δειχτεί ότι η  g  παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο  {x_0} = e.

Δ.  Να αποδειχτεί ότι η  g  είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η  {g^{ - 1}} 

     ως προς   {f^{ - 1}}.

Ε.  Αν  {f^{ - 1}}  είναι συνεχής να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις

     {C_g},,,kappa alpha iota ,,,{C_{{g^{ - 1}}}}   έχουν κοινό σημείο.

Ζ.  Να υπολογιστεί το όριο    {lim }limits_{x to 0} gleft( x right).

1. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί 18 Δεκέμβριος 2012

A. Αν ισχύει  alpha  ge 1  να αποδειχτεί ότι  frac{{sqrt {alpha  - 1} }}{alpha } le frac{1}{2} 

 

Β. Αν ισχύει  frac{{sqrt { - alpha  - 1} }}{alpha } + frac{1}{2} le 0  να υπολογιστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού alpha

 

 

 

2. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές Παραγώγων

Συναρτήσεις 17 Δεκέμβριος 2012

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = {e^{2x - {x^2}}},,,,x in R

Α.  Να βρεθούν  f'left( x right),,,kappa alpha iota ,,,f''left( x right).

Β.   Να μελετηθεί η μονοτονία και τα ακρότατα της  f .

Γ.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο  {rm A}left( {2,fleft( 2 right)} right).

Δ.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο  {rm M}left( {alpha ,fleft( alpha  right)} right),,,,alpha  > 1.

Ε.   Να υπολογιστεί ο alpha  > 1  αν η εφαπτομένη στο  {rm M}left( {alpha ,fleft( alpha  right)} right)  τέμνει τον x'x  σε σημείο με ελάχιστη τετμημένη.

 

1. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Ορισμός

Συναρτήσεις 12 Δεκέμβριος 2012

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f  για την οποία ισχύει fleft( x right) - fleft( {1 - x} right) = 2x - 1,,,,forall x in R.

Να δείξετε ότι:

A.   f'left( x right) + f'left( {1 - x} right) = 2,,,,forall x in R

B.   Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f  παράλληλη με την ευθεία  varepsilon :y = x .

Γ.    {lim }limits_{h to 0} frac{{fleft( {frac{1}{2} + h} right) - fleft( {frac{1}{2}} right)}}{h} = 1

  • 36
  • 37
  • 38
  • 39
  • 40
  • 41
  • 42
  • 43
  • 44
  • 45
Σελίδα 43 από 45

Καλώς Ήλθατε

Εδώ θα βρείτε προτεινόμενα θέματα μαθηματικών για όλες τις τάξεις του γενικού λυκείου.

Τα θέματα είναι προϊόν πνευματικής εργασίας του Αυτή η διεύθυνση Email προστατεύεται από τους αυτοματισμούς αποστολέων ανεπιθύμητων μηνυμάτων. Χρειάζεται να ενεργοποιήσετε τη JavaScript για να μπορέσετε να τη δείτε. και Αυτή η διεύθυνση Email προστατεύεται από τους αυτοματισμούς αποστολέων ανεπιθύμητων μηνυμάτων. Χρειάζεται να ενεργοποιήσετε τη JavaScript για να μπορέσετε να τη δείτε. και φιλοδοξούν να είναι πρωτότυπα και χρήσιμα.

Μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε ελεύθερα ή να παράξετε νέα θέματα στηριζόμενα σε αυτά αναφέροντας τους δημιουργούς τους.

Στη περίπτωση δημοσίευσης τους σε ιστοσελίδα ή άλλο ηλεκτρονικό μέσο να συμπεριλαμβάνεται επιπλέον και σύνδεσμος στον ιστότοπο

https://ematha.vassiliadis.edu.gr

Δεν επιτρέπεται όμως σε καμμία περίπτωση η εμπορική τους εκμετάλλευση με οποιονδήποτε τρόπο.

Creative Commons License

Αυτό έργο χορηγείται με άδεια

Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Ελλάδα.

Εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη
© 2023 Μούτσιος Γρηγόριος - Παρίσης Γεώργιος. Designed By TimeSilence
  • Αρχική
  • Α Λυκείου
    • Θεωρία Συνόλων
    • Πιθανότητες
    • Πραγματικοί Αριθμοί
    • Εξισώσεις
    • Ανισώσεις
    • Πρόοδοι
    • Συναρτήσεις - Βασικές Έννοιες
    • Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων
    • Επαναληπτικές
  • Β Λυκείου
    • Γενική
      • Συστήματα
      • Συναρτήσεις
      • Τριγωνομετρία
      • Πολυώνυμα
      • Εκθετική & Λογαριθμική
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Διανύσματα
      • Ευθεία
      • Κύκλος
      • Παραβολή Έλλειψη Υπερβολή
      • Επαναληπτικές
  • Γ Λυκείου
    • Γενική
      • Συναρτήσεις
      • Στατιστική
      • Πιθανότητες
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Μιγαδικοί
      • Συναρτήσεις Βασικά
      • Όριο - Συνέχεια
      • Παράγωγος Βασικά
      • Θεωρήματα Παραγώγων
      • Ολοκληρώματα
      • Επαναληπτικές
  • Geogebra
    • Α Λυκείου
    • Β Λυκείου Γενικής
    • Β Λυκείου Κατεύθυνσης
    • Γ Λυκείου Γενικής
    • Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
  • Επικοινωνία