1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση  f:left[ {0, + infty } right) to left( {0, + infty } right)  για την οποία  υπάρχει το   {lim }limits_{x to 0} frac{{fleft( x right) - 1}}{x} = alpha in R. 

Αν  gleft( x right) = ln fleft( x right),,,,x ge 0  και ισχύει  fleft( x right)gleft( x right) = x,,,,forall x in left[ {0, + infty } right)

Α.  Να δειχτεί ότι  fleft( x right) ge 1,,,,forall x ge 0

Β.  Να δειχτεί ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0

Γ.  Να δειχτεί ότι  g'left( 0 right) = 1  και  f'left( 0 right) = 1

Δ.  Δίνεται ότι η  f  είναι παραγωγίσιμη σε κάποιο  {x_0} in left[ {0, + infty } right).

     Να δειχτεί ότι η εφαπτομένη στο σημείο  {rm M}left( {{x_0},fleft( {{x_0}} right)} right)

     τέμνει τον άξονα x'x και μάλιστα σε σημείο με τετμημένη   - fleft( {{x_0}} right).

Ε.  Δίνεται ότι  η συνάρτηση  f  είναι παραγωγίσιμη και  fleft( {2{e^2}} right) = {e^2}. 

     Να δειχτεί ότι υπάρχει εφαπτομένη της  {C_f}  η οποία διέρχεται από το σημείο left( {0,2} right).

3. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής και γνήσια αύξουσα συνάρτηση f ορισμένη στο {rm A} = left( {0,e} right]   με   fleft( 1 right) = 1,,,kappa alpha iota ,,,fleft( {rm A} right) = left( {0,e} right].

Δίνεται και η συνάρτηση   gleft( x right) = {ln ^2}fleft( x right) - ln {f^2}left( x right) + 2.

Α.  Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της  g.

B.  Να αποδειχτεί ότι:   fleft( e right) = e,,,kappa alpha iota ,,, {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) = 0

Γ.  Να δειχτεί ότι η  g  παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο  {x_0} = e.

Δ.  Να αποδειχτεί ότι η  g  είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η  {g^{ - 1}} 

     ως προς   {f^{ - 1}}.

Ε.  Αν  {f^{ - 1}}  είναι συνεχής να δειχτεί ότι οι γραφικές παραστάσεις

     {C_g},,,kappa alpha iota ,,,{C_{{g^{ - 1}}}}   έχουν κοινό σημείο.

Ζ.  Να υπολογιστεί το όριο    {lim }limits_{x to 0} gleft( x right).

1. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

A. Αν ισχύει  alpha ge 1  να αποδειχτεί ότι  frac{{sqrt {alpha - 1} }}{alpha } le frac{1}{2} 

 

Β. Αν ισχύει  frac{{sqrt { - alpha - 1} }}{alpha } + frac{1}{2} le 0  να υπολογιστεί η τιμή του πραγματικού αριθμού alpha

 

 

 

2. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Εφαρμογές Παραγώγων

Συναρτήσεις

Δίνεται η συνάρτηση  fleft( x right) = {e^{2x - {x^2}}},,,,x in R

Α.  Να βρεθούν  f'left( x right),,,kappa alpha iota ,,,f''left( x right).

Β.   Να μελετηθεί η μονοτονία και τα ακρότατα της  f .

Γ.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο  {rm A}left( {2,fleft( 2 right)} right).

Δ.   Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο  {rm M}left( {alpha ,fleft( alpha right)} right),,,,alpha > 1.

Ε.   Να υπολογιστεί ο alpha > 1  αν η εφαπτομένη στο  {rm M}left( {alpha ,fleft( alpha right)} right)  τέμνει τον x'x  σε σημείο με ελάχιστη τετμημένη.

 

1. Γ΄ Λυκείου/ Γενικής/ Παράγωγος/ Ορισμός

Συναρτήσεις

Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f  για την οποία ισχύει fleft( x right) - fleft( {1 - x} right) = 2x - 1,,,,forall x in R.

Να δείξετε ότι:

A.   f'left( x right) + f'left( {1 - x} right) = 2,,,,forall x in R

B.   Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f  παράλληλη με την ευθεία  varepsilon :y = x .

Γ.    {lim }limits_{h to 0} frac{{fleft( {frac{1}{2} + h} right) - fleft( {frac{1}{2}} right)}}{h} = 1