1. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ευθεία

Ευθεία

Δίνεται η εξίσωση  {y^2} - 2alpha xy = {x^2}.

A. Να δειχτεί ότι παριστάνει δύο κάθετες ευθείες για κάθε  alpha in mathbb{R}.

Β. Αν  Α, Β τα σημεία τομής της ευθείας  varepsilon :x = 1 με τις παραπἀνω ευθείες

      1. Να υπολογιστεί ο  alpha   αν  left( {{rm A}{rm B}} right) = 2. 

      2. Να υπολογιστεί ο  alpha   αν το τρίγωνο  ΟΑΒ έχει εμβαδό  1 τ.μ. ( Ο η αρχή των αξόνων )

2. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  f:R to R  με fleft( 6 right) = 3,,,,fleft( 2 right) = 1 . 

Δίνεται και η συνάρτηση  gleft( x right) = {f^2}left( x right) - 3xfleft( x right),,,,x in R

Α. Να δειχτεί ότι  υπάρχει  {x_0} in R:,,,fleft( {{x_0}} right) = 2.

Β.  Να δειχτεί ότι η  {C_g}  τέμνει την ευθεία   varepsilon :y = - x - 4  στο διάστημα  left( {2,{x_0}} right).

Γ. Αν  gleft( x right) = - frac{{5{x^2}}}{4},,,,forall x in R  και  3fleft( { - 2} right){x^2} + 6x - 1 ne 0,,,,forall ,,x in R

    1. να δειχτεί ότι  left| {fleft( x right) - frac{{3x}}{2}} right| = left| x right|,,,,forall x in R.

    2. Να βρεθεί o τύπος της f .

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνάρτηση f  συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο R  με  fleft( R right) = left( { - e, - 1} right).

A.   Να δειχτεί ότι η  {C_f} τέμνει την καμπύλη  y = - {e^{ - x}}  σε μοναδικό σημείο

      με τετμημένη   {x_ circ } in left( { - 1,0} right).

B.   Έστω η συνάρτηση  varphi left( x right) = fleft( x right){e^x} + 1

   1.   Να δειχτεί ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο R.

   2.   Να βρεθεί το σύνολο τιμών της.

   3.   Να υπολογιστεί το όριο:   {lim }limits_{x to {x_ circ }} frac{1}{{varphi left( x right)left( {x - {x_ circ }} right)}}   όπου {x_ circ } η τιμή από το Α ερώτημα.

1. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Μιγαδικοί

Μιγαδικοί Αριθμοί

Δίνεται ο μιγαδικός z με  {{rm Re}nolimits} left( {{z^2}} right) = - 1  και ο μιγαδικός w που η εικόνα του διαγράφει την γραμμή με εξίσωση  frac{{{x^2}}}{{left| {z + frac{2}{z}} right|}} + frac{{{y^2}}}{{left| z right|}} = 1.

A. Να δειχτεί ότι:  z in Cbackslash left{ {0,sqrt 2 cdot i, - sqrt 2 cdot i} right}

Β. Να δειχτεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ισοσκελής υπερβολή.

Γ. Αν επιπλέον το  left| z right|  είναι σταθερό να αποδειχτεί ότι:

    1. ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι κύκλος του οποίου να βρεθεί η ακτίνα.

    2.  left| {{w^2} + overline z ,,i} right| = sqrt {2{{rm Re}nolimits} left( {{{left| z right|}^2} - z,{w^2},i} right)}

3. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Αν  x, y  γωνίες τριγώνου τότε :

A.   να δείξετε ότι  ημx > 0

B.   αν ισχύει  ημ2x+συν2y=1  τότε να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές