eMath:a - Αρχική

6. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δημοσιεύθηκε : Σάββατο, 20 Ιανουαρίου 2018 20:37 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Παράγωγος Βασικά

Δίνεται συνάρτηση $f:R \to R$ με $f\left( { - 1} \right) = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( 1 \right) = 2$ . Αν $f$ παραγωγίσιμη στα ${x_1} = - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_2} = 1$

Α. Να αποδειχτεί ότι ${\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2x}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right) - 2$

Β. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $g:R \to R$ με ${x^2}\,g\left( x \right) - {f^2}\left( x \right) = g\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right)$ . Να
αποδειχτεί ότι $g\left( x \right) =$ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}},x \ne \pm 1\\ - f'\left( { - 1} \right),x = - 1\\f'\left( 1 \right) - 2,x = 1\end{array} \right.$

Γ. Δίνεται ο τύπος της συνάρτησης $f:\,\,\,f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} + x,\,\,\,\forall x \in R$

1. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση $f\left( x \right) = 0$ έχει τουλάχιστον μία λύση ${x_{^o}}$ στο διάστημα $\left( { - \frac{1}{2},0} \right)$

2. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση $\frac{{f'\left( x \right) + 2{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = - x$ έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα $\left( { - \frac{1}{2},{x_o}} \right)$
όπου ${x_{^o}}$ η λύση του ερωτήματος Γ1.

5. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Δημοσιεύθηκε : Σάββατο, 20 Ιανουαρίου 2018 20:10 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right) = 2\alpha {x^2} + x - 1,\,\,\,\alpha \in {R^ * },\,\,\,\forall x \in R$ η οποία έχει παράγωγο συνάρτηση ευθείας

που εφάπτεται στην γραφική παράσταση της $f$ σε κάποιο σημείο της ${\rm M}\left( {{x_o},f\left( {{x_o}} \right)} \right)$

Α. Να αποδειχτεί ότι $\alpha = - \frac{1}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_o} = 2$

Β. Δίνονται οι συναρτήσεις $g\left( x \right) = \ln x + 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right),\,\,\,\forall x > 0$

1. Να αποδειχτεί ότι $x\,h''\left( x \right) + h'\left( x \right) + \frac{1}{x} = 0,\,\,\,\forall x > 0$

2. $h\left( {\rm A} \right) = \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right]$

21. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Δημοσιεύθηκε : Σάββατο, 20 Ιανουαρίου 2018 17:01 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα $\alpha \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to$ με γωνία $\left( { \alpha \limits^ \to \, ,\limits^{\widehat {}} \, \beta \limits^ \to } \right) = \phi$

καθώς και τα διαφορετικά ανά δύο σημεία ${\rm A}\left( {2\eta \mu \varphi \,,\,\sigma \upsilon \nu \varphi } \right)$ , ${\rm B}\left( { - \sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right)$ και $\Gamma \left( {\sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right)$ .

Α. Να αποδειχτεί ότι $\phi \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right]$

Β. Αν τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά να αποδειχτεί ότι $\varepsilon \phi \phi = 1$

Γ. Αν $\left| { {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right| = \left| { {{\rm A}\Gamma }\limits^ \to } \right|\,$

1. Να αποδειχτεί ότι: $\, \alpha \limits^ \to \,|\,\,| \beta \limits^ \to$

2. Αν επιπλέον ${ {\, \alpha \limits^ \to \, \uparrow \downarrow \, \beta \limits^ \to }\limits_{} }$ να υπολογιστεί η γωνία θ του ${\Gamma {\rm A}}\limits^ \to$ με τον ημιάξονα Οx.

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Δημοσιεύθηκε : Σάββατο, 20 Ιανουαρίου 2018 10:37 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Συναρτήσεις

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,\,\,g$ με πεδίο ορισμού το $A = \left[ {1, + \infty } \right)$ . Αν ισχύουν:

$g\left( A \right) = \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)$

$g$ γνησίως αύξουσα

και $f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = - 2$ , για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ τότε:

Α. Να δείξετε ότι $f\left( x \right) < 0$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ .

Β. Να δείξετε ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα.

Γ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της $f$ .

Δ. Αν $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 1}$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ τότε να δείξετε ότι:

1. $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} - \sqrt {x + 1}$ για κάθε $x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ .

2. Η συνάρτηση $\varphi \left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\,\,\,x \in \left[ {1, + \infty } \right)$ , έχει ελάχιστη τιμή το -1 .