5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση f:R \to R  με f\left( x \right)\,\,ln\,f\left( x \right) = {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R . Να αποδειχτούν

Α.  f\left( x \right) > 1,\,\,\,\forall \,x \in R

Β.   f  γνησίως αύξουσα και f\left( 1 \right) = e

Γ.  {f^2}\left( x \right) > {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R

Δ.   Αν f  συνεχής να βρεθεί η {f^{ - 1}}

E.   αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο να αποδειχτεί ότι \int_0^1 {{e^x}\,} ln\,f\left( x \right)dx = e + 1 - f\left( 0 \right) - \frac{1}{{f\left( 0 \right)}}

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση  f:R \to R  με  {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) + x}}{{{x^2} + x}} = 2

Α.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο {\rm M}\left( { - 1,f\left( { - 1} \right)} \right)

      είναι η  \varepsilon :y = - 3x - 2
Β.   Να υπολογιστεί το όριο {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)
Γ.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει {x_o} < 0,\,\,\,f\left( {{x_o}} \right) = 0

Δ.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  2f\left( x \right) + x\,f'\left( x \right) = - \frac{1}{x}  έχει αρνητική λύση
Ε.   Αν το χωρίο Ω που περικλείεται από την {C_f}, την ευθεία ε του ερωτήματος Γ1 και τον άξονα των y

      έχει εμβαδό {\rm E}\left( \Omega \right) = \frac{5}{2} τότε να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \,dx

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων

Δίνεται η κυρτή συνάρτηση f:R \to R  και ότι υπάρχει \alpha \in R  με  f'\left( \alpha \right) = 0.

Δίνεται και η συνάρτηση g\left( x \right) = f\left( {{e^x}} \right).

Α.   Να μελετηθούν η μονοτονία και τα ακρότατα της f.

Β.   Αν  \alpha \le 0  να δειχτεί ότι η συνάρτηση g  είναι κυρτή

Γ.   Αν  \alpha > 0

   1.   Να λυθεί η ανίσωση g'\left( x \right) < 0.

   2.   Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της {C_g} στο σημείο της \left( {{x_o},g\left( {{x_o}} \right)} \right),\,\,\,{x_o} < \,\,\ln \alpha

   3.   Να αποδειχτεί ότι η g δεν είναι κυρτή.

   4.   Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to - \infty } g'\left( x \right) = 0

συμπέρασμα: g\,\,\,\kappa \upsilon \rho \tau \eta \,\, \Leftrightarrow \,\,\,\alpha \le 0

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Αν για το πολυώνυμο Ρ ισχύουν {\rm P}\left( 0 \right) = 0  και \forall x \in R,\,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge \frac{{{\rm P}\left( 1 \right) - 1 + 2x}}{2}  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι  {\rm P}\left( 1 \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge x,\,\,\,\forall x \in R

Β.   Αν \alpha \in \left[ {1,e} \right]  και ισχύει {\rm P}\left( {\ln \alpha } \right) \le {\ln ^2}\alpha  να δείξετε ότι  \alpha = 1 ή \alpha = e

Γ.   Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο f\left( x \right) = {\rm P}\left( x \right) + {\rm P}\left( { - x} \right),\,\,\,x \in R  

     είναι άρτια και έχει ελάχιστη τιμή το μηδέν.

Δ.   Αν {\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha \,{x^3} + {x^2} + x,\,\,\,x \in R

   1.   να βρεθεί ο α

   2.   να δείξετε ότι το {x^2}  είναι παράγοντας του f\left( x \right).

7. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση  f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt { - {x^3}} \,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0\\ - \sigma \upsilon \nu x + 1,{\rm{ }}0 \le x \le \pi \end{array} \right.

Α.   Να αποδειχτεί ότι  f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc}{ - \frac{3}{2}\sqrt { - x} \,\,\,,\,\,\,x < 0}\\{\eta \mu x\,\,\,,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le \pi }\end{array}} \right.

Β.   Να βρεθεί ο αριθμός β  αν η ευθεία  \varepsilon :y = \beta   είναι εφαπτόμενη της  {C_f}.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει δεύτερη παράγωγος της f  στο 0.

Δ.   Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης  g\left( x \right) = f'\left( x \right) - f\left( x \right).