eMath:a eMath:a
eMath:a eMath:a
  • Αρχική
  • Α Λυκείου
    • Θεωρία Συνόλων
    • Πιθανότητες
    • Πραγματικοί Αριθμοί
    • Εξισώσεις
    • Ανισώσεις
    • Πρόοδοι
    • Συναρτήσεις - Βασικές Έννοιες
    • Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων
    • Επαναληπτικές
  • Β Λυκείου
    • Γενική
      • Συστήματα
      • Συναρτήσεις
      • Τριγωνομετρία
      • Πολυώνυμα
      • Εκθετική & Λογαριθμική
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Διανύσματα
      • Ευθεία
      • Κύκλος
      • Παραβολή Έλλειψη Υπερβολή
      • Επαναληπτικές
  • Γ Λυκείου
    • Γενική
      • Συναρτήσεις
      • Στατιστική
      • Πιθανότητες
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Μιγαδικοί
      • Συναρτήσεις Βασικά
      • Όριο - Συνέχεια
      • Παράγωγος Βασικά
      • Θεωρήματα Παραγώγων
      • Ολοκληρώματα
      • Επαναληπτικές
  • Geogebra
    • Α Λυκείου
    • Β Λυκείου Γενικής
    • Β Λυκείου Κατεύθυνσης
    • Γ Λυκείου Γενικής
    • Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
  • Επικοινωνία

5. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 09 Μάι 2018

Δίνεται η συνάρτηση f:R \to R  με f\left( x \right)\,\,ln\,f\left( x \right) = {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R . Να αποδειχτούν

Α.  f\left( x \right) > 1,\,\,\,\forall \,x \in R

Β.   f  γνησίως αύξουσα και f\left( 1 \right) = e

Γ.  {f^2}\left( x \right) > {e^x},\,\,\,\forall \,x \in R

Δ.   Αν f  συνεχής να βρεθεί η {f^{ - 1}}

E.   αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο να αποδειχτεί ότι \int_0^1 {{e^x}\,} ln\,f\left( x \right)dx = e + 1 - f\left( 0 \right) - \frac{1}{{f\left( 0 \right)}}

4. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 09 Μάι 2018

Δίνεται η κοίλη συνάρτηση  f:R \to R  με  {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{f\left( x \right) + x}}{{{x^2} + x}} = 2

Α.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο {\rm M}\left( { - 1,f\left( { - 1} \right)} \right)

      είναι η  \varepsilon :y =  - 3x - 2
Β.   Να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)
Γ.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει {x_o} < 0,\,\,\,f\left( {{x_o}} \right) = 0

Δ.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  2f\left( x \right) + x\,f'\left( x \right) =  - \frac{1}{x}  έχει αρνητική λύση
Ε.   Αν το χωρίο Ω που περικλείεται από την {C_f}, την ευθεία ε του ερωτήματος Γ1 και τον άξονα των y

      έχει εμβαδό {\rm E}\left( \Omega  \right) = \frac{5}{2} τότε να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \,dx

8. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Θεωρήματα Παραγώγων

Θεωρήματα Παραγώγων 23 Μάρτιος 2018

Δίνεται η κυρτή συνάρτηση f:R \to R  και ότι υπάρχει \alpha  \in R  με  f'\left( \alpha  \right) = 0.

Δίνεται και η συνάρτηση g\left( x \right) = f\left( {{e^x}} \right).

Α.   Να μελετηθούν η μονοτονία και τα ακρότατα της f.

Β.   Αν  \alpha  \le 0  να δειχτεί ότι η συνάρτηση g  είναι κυρτή

Γ.   Αν  \alpha  > 0

   1.   Να λυθεί η ανίσωση g'\left( x \right) < 0.

   2.   Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας της {C_g} στο σημείο της \left( {{x_o},g\left( {{x_o}} \right)} \right),\,\,\,{x_o} < \,\,\ln \alpha

   3.   Να αποδειχτεί ότι η g δεν είναι κυρτή.

   4.   Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g'\left( x \right) = 0

συμπέρασμα: g\,\,\,\kappa \upsilon \rho \tau \eta \,\, \Leftrightarrow \,\,\,\alpha  \le 0

7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές 23 Μάρτιος 2018

Αν για το πολυώνυμο Ρ ισχύουν {\rm P}\left( 0 \right) = 0  και \forall x \in R,\,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge \frac{{{\rm P}\left( 1 \right) - 1 + 2x}}{2}  τότε:

Α.   Να δείξετε ότι  {\rm P}\left( 1 \right) = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm P}\left( x \right) \ge x,\,\,\,\forall x \in R

Β.   Αν \alpha  \in \left[ {1,e} \right]  και ισχύει {\rm P}\left( {\ln \alpha } \right) \le {\ln ^2}\alpha  να δείξετε ότι  \alpha  = 1 ή \alpha  = e

Γ.   Να δείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο f\left( x \right) = {\rm P}\left( x \right) + {\rm P}\left( { - x} \right),\,\,\,x \in R  

     είναι άρτια και έχει ελάχιστη τιμή το μηδέν.

Δ.   Αν {\rm P}\left( x \right) = {x^4} + \alpha \,{x^3} + {x^2} + x,\,\,\,x \in R

   1.   να βρεθεί ο α

   2.   να δείξετε ότι το {x^2}  είναι παράγοντας του f\left( x \right).

7. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά 20 Ιανουάριος 2018

Δίνεται η συνάρτηση  f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt { - {x^3}} \,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x < 0\\
 - \sigma \upsilon \nu x + 1,{\rm{ }}0 \le x \le \pi 
\end{array} \right.

Α.   Να αποδειχτεί ότι  f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc}{ - \frac{3}{2}\sqrt { - x} \,\,\,,\,\,\,x < 0}\\{\eta \mu x\,\,\,,\,\,\,\,\,\,0 \le x \le \pi }\end{array}} \right.

Β.   Να βρεθεί ο αριθμός β  αν η ευθεία  \varepsilon :y = \beta   είναι εφαπτόμενη της  {C_f}.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει δεύτερη παράγωγος της f  στο 0.

Δ.   Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης  g\left( x \right) = f'\left( x \right) - f\left( x \right).

  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
Σελίδα 7 από 45

Καλώς Ήλθατε

Εδώ θα βρείτε προτεινόμενα θέματα μαθηματικών για όλες τις τάξεις του γενικού λυκείου.

Τα θέματα είναι προϊόν πνευματικής εργασίας του Αυτή η διεύθυνση Email προστατεύεται από τους αυτοματισμούς αποστολέων ανεπιθύμητων μηνυμάτων. Χρειάζεται να ενεργοποιήσετε τη JavaScript για να μπορέσετε να τη δείτε. και Αυτή η διεύθυνση Email προστατεύεται από τους αυτοματισμούς αποστολέων ανεπιθύμητων μηνυμάτων. Χρειάζεται να ενεργοποιήσετε τη JavaScript για να μπορέσετε να τη δείτε. και φιλοδοξούν να είναι πρωτότυπα και χρήσιμα.

Μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε ελεύθερα ή να παράξετε νέα θέματα στηριζόμενα σε αυτά αναφέροντας τους δημιουργούς τους.

Στη περίπτωση δημοσίευσης τους σε ιστοσελίδα ή άλλο ηλεκτρονικό μέσο να συμπεριλαμβάνεται επιπλέον και σύνδεσμος στον ιστότοπο

https://ematha.vassiliadis.edu.gr

Δεν επιτρέπεται όμως σε καμμία περίπτωση η εμπορική τους εκμετάλλευση με οποιονδήποτε τρόπο.

Creative Commons License

Αυτό έργο χορηγείται με άδεια

Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Ελλάδα.

Εκπαιδευτήρια Βασιλειάδη
© 2023 Μούτσιος Γρηγόριος - Παρίσης Γεώργιος. Designed By TimeSilence
eMath:a eMath:a
  • Αρχική
  • Α Λυκείου
    • Θεωρία Συνόλων
    • Πιθανότητες
    • Πραγματικοί Αριθμοί
    • Εξισώσεις
    • Ανισώσεις
    • Πρόοδοι
    • Συναρτήσεις - Βασικές Έννοιες
    • Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων
    • Επαναληπτικές
  • Β Λυκείου
    • Γενική
      • Συστήματα
      • Συναρτήσεις
      • Τριγωνομετρία
      • Πολυώνυμα
      • Εκθετική & Λογαριθμική
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Διανύσματα
      • Ευθεία
      • Κύκλος
      • Παραβολή Έλλειψη Υπερβολή
      • Επαναληπτικές
  • Γ Λυκείου
    • Γενική
      • Συναρτήσεις
      • Στατιστική
      • Πιθανότητες
      • Επαναληπτικές
    • Κατεύθυνση
      • Μιγαδικοί
      • Συναρτήσεις Βασικά
      • Όριο - Συνέχεια
      • Παράγωγος Βασικά
      • Θεωρήματα Παραγώγων
      • Ολοκληρώματα
      • Επαναληπτικές
  • Geogebra
    • Α Λυκείου
    • Β Λυκείου Γενικής
    • Β Λυκείου Κατεύθυνσης
    • Γ Λυκείου Γενικής
    • Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
  • Επικοινωνία