6. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται συνάρτηση  f:R \to R   με  f\left( { - 1} \right) = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( 1 \right) = 2 . Αν f  παραγωγίσιμη στα {x_1} = - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_2} = 1

Α.   Να αποδειχτεί ότι   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 2x}}{{x - 1}} = f'\left( 1 \right) - 2

Β.   Δίνεται η συνεχής συνάρτηση  g:R \to R  με  {x^2}\,g\left( x \right) - {f^2}\left( x \right) = g\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right) . Να
      αποδειχτεί ότι  g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x\,f\left( x \right)}}{{{x^2} - 1}},x \ne \pm 1\\ - f'\left( { - 1} \right),x = - 1\\f'\left( 1 \right) - 2,x = 1\end{array} \right. 

Γ.   Δίνεται ο τύπος της συνάρτησης  f:\,\,\,f\left( x \right) = {e^{{x^2} - 1}} + x,\,\,\,\forall x \in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση f\left( x \right) = 0  έχει τουλάχιστον μία λύση {x_{^o}}  στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},0} \right) 

   2.   Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση  \frac{{f'\left( x \right) + 2{x^2} - 1}}{{2x + 1}} = - x  έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα \left( { - \frac{1}{2},{x_o}} \right)
          όπου {x_{^o}}  η λύση του ερωτήματος  Γ1.

5. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = 2\alpha {x^2} + x - 1,\,\,\,\alpha \in {R^ * },\,\,\,\forall x \in R   η οποία έχει παράγωγο συνάρτηση ευθείας

που εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f  σε κάποιο σημείο της  {\rm M}\left( {{x_o},f\left( {{x_o}} \right)} \right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha = - \frac{1}{4}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{x_o} = 2

Β.   Δίνονται οι συναρτήσεις  g\left( x \right) = \ln x + 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,h\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right),\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι  x\,h''\left( x \right) + h'\left( x \right) + \frac{1}{x} = 0,\,\,\,\forall x > 0

   2.   h\left( {\rm A} \right) = \left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right]

21. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  \alpha \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to  με γωνία \left( { \alpha \limits^ \to \, ,\limits^{\widehat {}} \, \beta \limits^ \to } \right) = \phi

καθώς και τα διαφορετικά ανά δύο σημεία {\rm A}\left( {2\eta \mu \varphi \,,\,\sigma \upsilon \nu \varphi } \right), {\rm B}\left( { - \sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right) και \Gamma \left( {\sigma \upsilon \nu \varphi \,,\,\eta \mu \varphi } \right).

 Α.   Να αποδειχτεί ότι  \phi \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2},\pi } \right]

 Β.   Αν τα σημεία αυτά είναι συνευθειακά να αποδειχτεί ότι  \varepsilon \phi \phi = 1

 Γ.   Αν  \left| { {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right| = \left| { {{\rm A}\Gamma }\limits^ \to } \right|\,

   1.   Να αποδειχτεί ότι: \, \alpha \limits^ \to \,|\,\,| \beta \limits^ \to

   2.   Αν επιπλέον { {\, \alpha \limits^ \to \, \uparrow \downarrow \, \beta \limits^ \to }\limits_{} }  να υπολογιστεί η γωνία θ του {\Gamma {\rm A}}\limits^ \to  με τον ημιάξονα Οx.

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνονται οι συναρτήσεις f,\,\,g  με πεδίο ορισμού το  A = \left[ {1, + \infty } \right). Αν ισχύουν:

           g\left( A \right) = \left[ {\sqrt 2 , + \infty } \right)

           g  γνησίως αύξουσα

   και   f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) = - 2 , για κάθε  x \in \left[ {1, + \infty } \right) τότε:

Α.   Να δείξετε ότι f\left( x \right) < 0 για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

Β.   Να δείξετε ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα.

Γ.   Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της f .

Δ.   Αν  g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right)  τότε να δείξετε ότι:

   1.   f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} - \sqrt {x + 1}   για κάθε x \in \left[ {1, + \infty } \right) .

   2.   Η συνάρτηση  \varphi \left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}},\,\,\,x \in \left[ {1, + \infty } \right),  έχει ελάχιστη τιμή το -1 .

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Στο διπλανό σχήμα ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο  {\rm O}\left( {0,0} \right)  και ακτίνα \rho = 1 .

Επίσης το σημείο {\rm M}\left( {{x_0},{y_0}} \right) είναι σημείο του κύκλουθέμα 9 Β λυκείου άλγεβρα τριγωνομετρία

και η ΟΜ είναι η τελική πλευρά της προσανατολισμένης γωνίας θ.

Αν ισχύει  2{x_0}{y_0} = 1  τότε:

Α.   Να υπολογίσετε το  \eta \mu \theta \cdot \sigma \upsilon \nu \theta .

Β.   Να αποδείξετε ότι  \varepsilon \varphi \theta + \sigma \varphi \theta = 2 .

Γ.   Να αποδείξετε ότι  \eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta = - \sqrt 2 .

Δ.   Να υπολογίσετε τους  \eta \mu \theta ,\,\,\,\sigma \upsilon \nu \theta .