8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Α.   Να αποδείξετε ότι :  \frac{{\eta {\mu ^2}\theta }}{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }} - \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}{{1 - \eta \mu \theta }} = \sigma \upsilon \nu \theta - \eta \mu \theta , \theta \ne 2\kappa \pi ,2\kappa \pi + \frac{\pi }{2}  για κάθε \kappa \in \mathbb{Z}.

Β.   Αν ισχύουν  \frac{{\eta {\mu ^2}\theta }}{{1 - \sigma \upsilon \nu \theta }} - \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta }}{{1 - \eta \mu \theta }} = \eta \mu \theta    και \theta \in \left( {\pi ,\frac{{3\pi }}{2}} \right)  

      να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ.

20. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα σημεία  {\rm A}\left( {\beta + 1\,,\, - \alpha } \right),\,\,\,{\rm B}\left( {\alpha + 1,\beta } \right),\,\,\,\Gamma \left( {2\alpha + 1,\alpha + 2\beta } \right),\,\,\,\alpha ,\beta \in R .

Αν για τα διανύσματα {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to  ισχύουν  {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \,|\,|\, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to \, \ne \, {{\rm B}\Gamma }\limits^ \to

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha + \beta = 0

Β.   Αν επιπλέον ισχύουν \left( {{\rm O}x\,, {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right) = {180^o}  και  \left| { {{\rm A}{\rm B}}\limits^ \to } \right| = 10
   1.   Να βρεθούν τα \alpha ,\beta
   2.   Να υπολογιστεί η απόσταση των μέσων Μ και Ν των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και  ΒΓ αντίστοιχα.

16. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Όριο - Συνέχεια

Για την συνάρτηση  δίνονται τα όρια {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - \alpha }}{{x - 1}} = 4 ,  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - \beta }}{x} = 3

και {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( {x + 1} \right) - f\left( x \right)}}{x} = \gamma  όπου \alpha ,\beta ,\gamma \in R.  Να αποδειχτούν:

Α.   \alpha = \beta

Β.   \gamma = 1

17. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Όριο - Συνέχεια

Για την συνάρτηση  f:R \to R   δίνονται τα όρια  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {\ln \alpha } \right)}}{x} = \beta \in R,\,\,\,\forall \alpha \in \left( {0, + \infty } \right)

και  {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\alpha f\left( x \right) - 1 + {\alpha ^2}}}{{x - 1}} = \gamma \in R,\,\,\,\forall \alpha \in \left( {0, + \infty } \right) . Αν  f\left( {x + 1} \right) < f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R

Α.   Να δειχτεί ότι f\left( {\ln \alpha } \right) \ge \frac{1}{\alpha } - \alpha ,\,\,\,\forall \alpha > 0
Β.   Να δειχτεί ότι  f\left( x \right) \ge {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R
Γ.   Αν επιπλέον η συνάρτηση  είναι περιττή

   1.   Να δειχτεί ότι  f\left( x \right) = {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R

   2.   Να βρεθεί η αντίστροφή της.

13. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Διάταξη

Πραγματικοί Αριθμοί

Αν ισχύει  - 1 > \frac{1}{{\alpha \beta }}\,\,

Α.   Να αποδειχτεί ότι:  1 + \alpha \beta > 0

Β.   Αν επιπλέον ισχύει   \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta } < \alpha - \beta   να αποδειχτεί ότι: \alpha < \beta