12. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Διάταξη

Πραγματικοί Αριθμοί

Δίνονται  \alpha > 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta < - 1. Να αποδειχτούν

Α.  {\alpha ^2} + {\beta ^2} > 2

Β.  1 + \frac{1}{\beta } > \frac{1}{{\alpha \beta }} + \frac{1}{\alpha }

Γ.  \alpha > \beta + 2

Δ.  0 < \frac{1}{\alpha } - \frac{1}{\beta } < 2

11. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται η συνάρτηση  f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} - \sqrt {4 - x}

Α.   Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της

Β.   Να αποδειχτεί ότι    f(x)(x - 1) > 0\,,\,\forall x \in {A_f} - \left\{ 1 \right\} 

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση  f\left( x \right) = x - 1

10. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται πολυώνυμο  f\left( x \right)  με  f\left( 1 \right) > 0  και  f\left( x \right)f\left( { - x} \right) = {x^4} + \alpha {x^3} - {x^2} + \beta x,\,\,\,\forall x \in R

όπου \alpha ,\beta \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι \alpha = \beta = 0

Β.   Να αποδειχτεί ότι τα μοναδικά σημεία τομής {C_f} και x'x είναι τα σημεία {\rm O}\left( {0,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\rm A}\left( { - 1,0} \right)

Γ.   Να βρεθεί ο τύπος του πολυωνύμου

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση {f^2}\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {4 + f\left( x \right)} \right)x + 4

4. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g:R \to R  με  f\left( x \right)g\left( x \right) = x - 1,\,\,\,\forall x \in R.

Αν η f  είναι παραγωγίσιμη στο 1

Α.   να αποδειχτεί ότι f\left( 1 \right) \ne 0\,\,\, \vee \,\,\,g\left( 1 \right) \ne 0

Β.   Δίνεται f\left( 1 \right) \ne 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 1

   2.  Έστω {\varepsilon _1},{\varepsilon _2}  οι εφαπτόμενες ευθείες των  {C_f},\,\,\,{C_g} στα σημεία \left( {1,f\left( 1 \right)} \right),\,\,\,\left( {1,g\left( 1 \right)} \right) αντίστοιχα.

         Αν   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right) - 2x - {f^2}\left( 1 \right) + 2}}{{x - 1}} = 0  να αποδειχτεί ότι  {\varepsilon _1}//{\varepsilon _2}.

11. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

Για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει  \alpha \le - \frac{1}{4}

Α.   Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης {\rm A} = \left| {4\alpha + 1} \right| - 2\left| { - 2\alpha } \right|

Β.   Να αποδειχτεί ότι: 4\alpha \le \frac{1}{{4\alpha }}

Γ.   Αν ισχύει και  \frac{{\sqrt { - 4\alpha - 1} }}{{2\alpha }} + 1 \le 0  να υπολογιστεί η τιμή του α