10. Α΄ Λυκείου/ Πραγματικοί Αριθμοί/ Ρίζες

Πραγματικοί Αριθμοί

Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει \frac{1}{{\left| {\alpha + 1} \right|}} > 1

Α.   Nα αποδειχτεί ότι  \alpha \in \left( { - 2, - 1} \right) \cup \left( { - 1,0} \right)

Β.   Να λυθεί η εξίσωση: \sqrt {{\alpha ^2} + 4\alpha + 4} = 2 - 2\left| {\alpha + 1} \right|

6. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Επαναληπτικές

Επαναληπτικές

Δίνεται η συνάρτηση  f, με τύπο f\left( x \right) = x - \sqrt {1 - x} .
Α.   Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f.

Β.   Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α.

Γ.   Να δείξετε ότι \max f = 1
Δ.   Να λύσετε την ανίσωση f\left( {1 - \eta \mu 2x} \right) \ge 1.

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Έστω f:R \to R με f γνησίως φθίνουσα στο \left( { - \infty ,0} \right)

και για κάθε x \in R ισχύει f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right). Να δειχτεί ότι:

Α.   Η {C_f}  περνά από την αρχή των αξόνων.

Β.   Η f είναι άρτια και να υπολογίσετε f\left( 1 \right) και f\left( { - 1} \right) .

Γ.   Η f  είναι γνησίως αύξουσα στο \left( {0, + \infty } \right).

Δ.  

   1.   Για κάθε x \in \left( {0,1} \right) , f\left( {{x^2}} \right) < f\left( x \right) < f\left( {\sqrt x } \right)

   2.  f\left( x \right) \le 0, για κάθε x \in \left[ { - 1,1} \right].

x \in \left[ { - 1{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} 1} \right]

3. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R με  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - x}}{x} = \alpha \in R .

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι παραγωγίσιμη στο 0

Β.   Αν f'\left( 0 \right) = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f\left( x \right) \ne x,\,\,\,\forall x > 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει  {x_o} > 0  τέτοιο ώστε f\left( {{x_o}} \right) > {x_o}

   2.   Να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| {2f\left( x \right) - x - \eta \mu x} \right|}}{x}

   3.   Να αποδειχτεί ότι  f({\rm A}) = \left[ {0, + \infty } \right)

2. Γ΄ Λυκείου/Κατεύθυνση/Ορισμός παραγώγου - κανόνες - τύποι

Παράγωγος Βασικά

Δίνεται συνάρτηση f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R  γνησίως αύξουσα με f\left( {{x^2}} \right) = 2f\left( x \right),\,\,\,\forall x \ge 1

 και υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο  {\lim }\limits_{x \to {x_{\,o\,}}} f\left( x \right),\,\,\,\forall {x_{\,o\,}} \ge 1.

Α.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι συνεχής

Β.   Να αποδειχτεί ότι  f\left( {\rm A} \right) = \left[ {0, + \infty } \right)

Γ.   Αν  f'\left( 1 \right) = 1  να υπολογιστεί το όριο  {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x\,f\left( {{x^2}} \right) - \ln \left( {f\left( x \right) + 1} \right)}}{{x - 1}}

Δ.   Αν f  παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο,  \frac{1}{2} < f\left( 2 \right) < 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} , να αποδειχτεί ότι υπάρχει σημείο της  {C_f}  στο οποίο δέχεται εφαπτόμενη ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.