15. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R \to R  με f\left( x \right) \ne - \frac{1}{2},\,\,\,\forall x \in R .

Αν f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}  και {f^2}\left( x \right) \le 2 - f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R  να αποδειχτεί ότι f\left( R \right) \subseteq \left( { - \frac{1}{2},1} \right]

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R  με f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - x + 1} \right) < 0,\,\,\,\forall x > 1

Α.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x > 1

Β.   Να αποδειχτεί ότι f\left( 1 \right) = 0

Γ.   Να υπολογιστεί το όριο   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{{x - 1}}

19. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Α.   Για τα μη συγγραμμικά διανύσματα  \vec \alpha ,\vec \beta  ισχύει  \kappa \vec \alpha + \lambda \vec \beta = \vec 0 .

     Να αποδειχτεί ότι  \kappa = \lambda = 0  

Β.   Δίνονται τα διανύσματα \vec \alpha ,\vec \beta  για τα οποία ισχύουν:

     \left( {\vec \beta + 2\vec \alpha } \right) \bot \left( {\vec \alpha - \vec \beta } \right),\,\,\,\vec \alpha \ne \vec \beta  και  2\vec \alpha + \vec \beta \ne \vec 0
   1.   Να αποδειχτεί ότι \vec \alpha ,\vec \beta   μη συγγραμμικά
   2.   Αν για το διάνυσμα \vec \gamma  ισχύει  \left( {\vec \gamma - \vec \beta } \right)\,|\,|\,\vec \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vec \gamma \,|\,|\,\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right) 

        να αποδειχτεί ότι \vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha  
   3.   Δίνεται ότι \left| {\vec \alpha } \right| = \sqrt 2 . Να υπολογιστεί το μέτρο του \vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha  

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνάρτηση f:\left( {0, + \infty } \right) \to R . Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο   {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {{e^\alpha }} \right){x^3} - \alpha {x^2} - {e^\alpha }x + e + 1}}{{x - 1}},\,\,\,\forall \alpha \in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι f\left( x \right) = \ln x + x - e - 1,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)

Β.   Να αποδειχτεί ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα

Γ.   Αν για την συνάρτηση g:R \to \left( {0, + \infty } \right)  ισχύει  \ln g\left( x \right) + g\left( x \right) = x,\,\,\,\forall x \in R  να αποδειχτεί ότι

   1.   g  1-1

   2.   {g^{ - 1}}\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)

15. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:R \to R\,\,\,{\rm{\mu \varepsilon }}\,\,\,f\left( 0 \right) = 1

και η συνάρτηση g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}},\,\,\,\forall x \in \left( {1, + \infty } \right)

Α.   Να ορίσετε την σύνθεση της συνάρτησης f  με την συνάρτηση g

Β.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση \varphi \left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{x},\,\,\,x \in \left( { - \infty ,0} \right)  είναι γνησίως φθίνουσα

Γ.   Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f  τέμνει την γραφική παράσταση

     της συνάρτησης  h\left( x \right) = - \frac{1}{x},\,\,\,x < 0  σε σημείο με τετμημένη - \frac{1}{2}  να λυθεί η εξίσωση  g\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} .