eMath:a - Αρχική

15. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Δημοσιεύθηκε : Παρασκευή, 06 Ιανουαρίου 2017 22:27 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R \to R$ με $f\left( x \right) \ne - \frac{1}{2},\,\,\,\forall x \in R$ .

Αν $f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}$ και ${f^2}\left( x \right) \le 2 - f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R$ να αποδειχτεί ότι $f\left( R \right) \subseteq \left( { - \frac{1}{2},1} \right]$

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Δημοσιεύθηκε : Παρασκευή, 06 Ιανουαρίου 2017 22:21 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R$ με $f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - x + 1} \right) < 0,\,\,\,\forall x > 1$

Α. Να αποδειχτεί ότι $f\left( x \right) > 0,\,\,\,\forall x > 1$

Β. Να αποδειχτεί ότι $f\left( 1 \right) = 0$

Γ. Να υπολογιστεί το όριο ${\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{{x - 1}}$

19. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δημοσιεύθηκε : Παρασκευή, 06 Ιανουαρίου 2017 17:26 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Διανύσματα

Α. Για τα μη συγγραμμικά διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ ισχύει $\kappa \vec \alpha + \lambda \vec \beta = \vec 0$ .

Να αποδειχτεί ότι $\kappa = \lambda = 0$

Β. Δίνονται τα διανύσματα $\vec \alpha ,\vec \beta$ για τα οποία ισχύουν:

$\left( {\vec \beta + 2\vec \alpha } \right) \bot \left( {\vec \alpha - \vec \beta } \right),\,\,\,\vec \alpha \ne \vec \beta$ και $2\vec \alpha + \vec \beta \ne \vec 0$
1. Να αποδειχτεί ότι $\vec \alpha ,\vec \beta$ μη συγγραμμικά
2. Αν για το διάνυσμα $\vec \gamma$ ισχύει $\left( {\vec \gamma - \vec \beta } \right)\,|\,|\,\vec \alpha \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vec \gamma \,|\,|\,\left( {\vec \alpha + 2\vec \beta } \right)$

να αποδειχτεί ότι $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$
3. Δίνεται ότι $\left| {\vec \alpha } \right| = \sqrt 2$ . Να υπολογιστεί το μέτρο του $\vec \gamma = \vec \beta + \frac{1}{2}\vec \alpha$

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Όριο

Δημοσιεύθηκε : Τετάρτη, 02 Νοεμβρίου 2016 19:55 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left( {0, + \infty } \right) \to R$ . Αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το όριο ${\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( {{e^\alpha }} \right){x^3} - \alpha {x^2} - {e^\alpha }x + e + 1}}{{x - 1}},\,\,\,\forall \alpha \in R$

Α. Να αποδειχτεί ότι $f\left( x \right) = \ln x + x - e - 1,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$

Β. Να αποδειχτεί ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα

Γ. Αν για την συνάρτηση $g:R \to \left( {0, + \infty } \right)$ ισχύει $\ln g\left( x \right) + g\left( x \right) = x,\,\,\,\forall x \in R$ να αποδειχτεί ότι

1. $g$ 1-1

2. ${g^{ - 1}}\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,\forall x \in \left( {0, + \infty } \right)$

15. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Δημοσιεύθηκε : Τετάρτη, 02 Νοεμβρίου 2016 19:40 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση $f:R \to R\,\,\,{\rm{\mu \varepsilon }}\,\,\,f\left( 0 \right) = 1$

και η συνάρτηση $g\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}},\,\,\,\forall x \in \left( {1, + \infty } \right)$

Α. Να ορίσετε την σύνθεση της συνάρτησης $f$ με την συνάρτηση $g$

Β. Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση $\varphi \left( x \right) = f\left( x \right) + \frac{1}{x},\,\,\,x \in \left( { - \infty ,0} \right)$ είναι γνησίως φθίνουσα

Γ. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ τέμνει την γραφική παράσταση

της συνάρτησης $h\left( x \right) = - \frac{1}{x},\,\,\,x < 0$ σε σημείο με τετμημένη $- \frac{1}{2}$ να λυθεί η εξίσωση $g\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ .

Σελίδα 12 από 45