7. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R \to R  και για κάθε x \in R  ισχύει f\left( x \right) > 0  και g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) .

Να αποδειχτεί ότι:

Α.   η f  δεν είναι περιττή ενώ η g  είναι περιττή

Β.   αν g\left( x \right) = \alpha ,\,\,\,\forall x \in R  τότε η f  είναι άρτια

Γ.   αν η f  είναι γνησίως φθίνουσα τότε:

   1.   η g  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   xg\left( x \right) \le 0,\,\,\,\forall x \in R.

6. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Ολοκληρώματα

Ολοκληρώματα

Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ccccccccccccccc} {\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - x - 1}},\,\,\,x \ne 0}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x = 0} \end{array}} \right.

 Α.   Να αποδειχτεί ότι  \alpha = 2

 Β.   Αν  g\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + f\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R   να αποδειχτεί ότι

   1.   Η g  είναι γνησίως αύξουσα

   2.   f\left( 0 \right) < \int_0^1 {g\left( x \right)dx} < \frac{1}{2} + f\left( 1 \right)

 Γ.   Αν \int_\beta ^\gamma {f'\left( x \right)} \,dx < 0,\,\,\,\beta ,\gamma \in R  να αποδειχτεί ότι  \beta > \gamma

 Δ.   Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα  \int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)} f\left( x \right)dx  ως προς f\left( 1 \right)

14. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Α.   Δίνεται η συνάρτηση   f\left( x \right) = 1 - \sqrt {x - 1} ,\,\,\,\forall x \in \left[ {1, + \infty } \right)

   1.   Να αποδειχτεί ότι είναι αντιστρέψιμη

   2.   Να αποδειχτεί ότι {f^{ - 1}}\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 1,\,\,\,\forall x \in \left( { - \infty ,1} \right]

   3.   Να λυθεί η εξίσωση  {f^3}\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)

Β.   Να βρεθεί η συνάρτηση  g:\left( { - \infty ,1} \right] \to R   αν ισχύει  g\left( {f\left( x \right)} \right) = \sqrt {2x - 2} ,\,\,\,\forall x \ge 1

13. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση f\left( x \right) = {e^{ - x}} - {e^x},\,\,\,\forall x \in R .

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( {\ln x} \right) > \frac{1}{x} - 1

Γ.   Να λυθεί η ανίσωση  \frac{1}{{{e^{{e^x}}}}} - {e^{{e^x}}} < \frac{1}{e} - e

Δ.   Αν για την συνάρτηση  g:\left( { - \infty ,1} \right) \to R  ισχύει  f\left( {g\left( x \right)} \right) = \frac{1}{{1 - x}} - \left( {1 - x} \right),\,\,\,\forall x < 1 , να βρεθεί η συνάρτηση g

12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση  f:\left[ {0, + \infty } \right) \to R.

Αν ισχύει  {f^2}\left( x \right) = 2{e^x}f\left( x \right) - 1,\,\,\,\forall x \ge 0

Α. Να αποδειχτεί ότι  f\left( 0 \right) = 1

Β. Να αποδειχτεί ότι  {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) \ne - \infty \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) < 1

Γ. Να αποδειχτεί ότι  f\left( x \right) \le {e^x},\,\,\,\forall x \ge 0

Δ. Να αποδειχτεί ότι   f\left( x \right) = {e^x} - \sqrt {{e^{2x}} - 1} ,\,\,\,\forall x \ge 0

Ε. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της  f.