18. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  \alpha \limits^ \to = \left( {\alpha \,,\,2\beta + 1} \right),\,\,\, \beta \limits^ \to = \left( {4\beta - \alpha \,,\,1 - 2\beta } \right),\,\,\,\alpha ,\beta \in R.

Αν  \alpha \limits^ \to \bot \beta \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\alpha > 2\beta

Α.   Να αποδειχτεί ότι

   1.   \alpha - 2\beta = 1.

   2.   \alpha \limits^ \to = \left( {\alpha \,,\,\alpha } \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to = \left( {\alpha - 2\,,\,2 - \alpha } \right)

Β.   Αν επιπλέον ισχύει \left( { \alpha \limits^ \to \, ,\limits^{^{ \,\limits^ \wedge }} \, \alpha \limits^ \to \, - \beta \limits^ \to } \right) = {45^o}  να αποδειχτεί ότι \alpha = 1.

11. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συνέχεια

Όριο - Συνέχεια

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f:R \to R  με f\left( R \right) = \left( { - \infty ,0} \right)

και η συνάρτηση  h\left( x \right) = \ln x + x,\,\,\,x > 0

Α.   Να δειχτεί ότι η συνάρτηση h  έχει μοναδική ρίζα {x_{\,1}}  στο διάστημα \left( {0,1} \right).

Β.   Να αποδειχτεί ότι η γραφική παράσταση της f  τέμνει την γραφική παράσταση της h

      ακριβώς μία φορά σε σημείο με τετμημένη {x_o}.

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  {x_o} < {x_{\,1}}.

Δ.   Να λυθεί η ανίσωση:  f\left( {x - {x_o}} \right) - f\left( {1 - {x_o}} \right) + 1 < \ln \left( {x - {x_o}} \right) - \ln \left( {1 - {x_o}} \right) + x.

17. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα  u\limits^ \to = \left( {4\beta + \gamma - \alpha \,\,,\,\,\alpha \gamma + 4{\beta ^2}} \right) 

και v\limits^ \to = \left( {\alpha - 2\beta ,0} \right),\,\,\,\alpha ,\beta ,\gamma \in R .

Αν  u\limits^ \to ||y'y

Α.   Να αποδειχτεί ότι  \left( {\widehat {{\rm O}x, u\limits^ \to }} \right) = {90^o}.
Β.   Δίνεται ότι \left| { u\limits^ \to } \right| = \left| { v\limits^ \to } \right|\,  και \left( {\widehat {{\rm O}x,\, v\limits^ \to }} \right) = {0^o}

   1.   Να βρεθούν τα διανύσματα  u\limits^ \to ,\,\,\, v\limits^ \to .

   2.   Αν επιπλέον \left( {\alpha \, u\limits^ \to + v\limits^ \to } \right)||\left( { u\limits^ \to + \gamma \, v\limits^ \to } \right)  να υπολογιστούν οι αριθμοί \alpha ,\beta ,\gamma

12. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση f  γνησίως φθίνουσα στο R

και οι συναρτήσεις g,h  με g\left( x \right) = {h^2}\left( x \right) - 2h\left( x \right),\,\,\,\forall x \in R .

Αν  {C_f}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{C_g}  τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο

Α.   Να αποδειχτεί ότι υπάρχει {x_o} \in R  με  f\left( {{x_o}} \right) \ge - 1

      Για τον αριθμό {x_o} που βρέθηκε στο Α ερώτημα:

Β.   Αν  f\left( {{x_o}} \right) = - 1

   1.   Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση g  παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

   2.   Αν  h\left( x \right) = {e^{ - x}} + {e^x} - 1,\,\,\,\forall x \in R

       i.   Να αποδειχτεί ότι {x_o} = 0

      ii.   Να λυθεί η ανίσωση  f\left( x \right) \ge {e^x} - 2

11. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται συνάρτηση  g,,,1 - 1,,,sigma tau o,,R  με  {g^{ - 1}}left( x right) = {e^{x + 1}} + x,,,,forall x in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα

Β.   Να λυθεί η εξίσωση  gleft( x right) = 0

Γ.   Να αποδειχτεί ότι frac{{gleft( x right)}}{{x - e}} > 0,,,forall x ne e

Δ.   Να λυθεί η εξίσωση  {g^{ - 1}}left( x right) = 0

Ε.   Δίνεται συνάρτηση  fleft( x right) = {g^2}left( x right) + 2gleft( x right) + 2,,,,forall x in R

   1.   Να αποδειχτεί ότι παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

   2.   Να λυθεί η ανίσωση  {f^2}left( x right) le 2 - fleft( x right)