10. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνονται οι συναρτήσεις   phi left( x right) = sqrt x + {e^{sqrt x }} - 1,,,,x in left[ {0, + infty } right) και  gleft( x right) = 1 - {e^{sqrt x }},,,,x in left[ {0, + infty } right)

Α.   Να αποδειχτεί ότι  g  1-1

Β.   Να αποδειχτεί ότι  {g^{ - 1}}left( x right) = {ln ^2}left( {1 - x} right),,,,forall x le 0

Γ.   Αν  fleft( x right) = phi left( {{g^{ - 1}}left( x right)} right),,,,forall x le 0

   1.   Να αποδειχτεί ότι η  f  είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να υπολογιστεί η τιμή  {f^{ - 1}}left( e right)

   3.   Να λυθεί η εξίσωση  {f^{ - 1}}left( {1 - x} right) = x

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση   gleft( x right) = {e^{ - x}} - x,,,,forall x in R.

Α.   Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β.   Να αποδειχτεί ότι  1 in gleft( R right)

Γ.   Να λυθεί η εξίσωση  {g^{ - 1}}left( x right) = 1 - x

Δ.   Για την συνάρτηση  f  ισχύει ότι   {e^{fleft( x right)}} = frac{1}{{fleft( x right) + {e^x} + 1}},,,,forall x in mathbb{R}

   1.   Να αποδειχτεί ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα

   2.   Να αποδειχτεί ότι  fleft( 1 right) = - 1

   3.   Να βρείτε την  {f^{ - 1}}

 

16. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to = left( {x,y} right),,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to = left( {x - y,x + y} right),,,,x,y in R.

Αν ισχύει    alpha limits^ to beta limits^ to = 1 

Α.   Να δειχτεί ότι   left| { alpha limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to - beta limits^ to } right|. 

Β.   Να υπολογιστούν οι γωνίες   left( { alpha limits^ to ,,,,, beta limits^ to } right)  και  ,left( { alpha limits^ to ,,,,,,, alpha limits^ to - beta limits^ to } right).  

Γ.   Αν η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα  alpha limits^ to   με τον ημιάξονα Οx είναι 135ο  να υπολογιστούν 

      οι συντεταγμένες των διανυσμάτων    alpha limits^ to ,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to

 

15. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Διανύσματα

Δίνονται τα διανύσματα

alpha limits^ to = left( {kappa - lambda ,,,lambda - kappa + 1} right),  και   beta limits^ to = left( {2kappa + lambda ,,,lambda + 2} right),,,,kappa ,lambda in R. 

Αν  left| { alpha limits^ to } right| = 1 

Α.   Να αποδείξετε ότι   alpha limits^ to = left( {0,1} right),  ή  , alpha limits^ to = left( {1,0} right).  

Β.   Αν επιπλέον   beta limits^ to //, alpha limits^ to   να βρεθεί το διάνυσμα   beta limits^ to .

14. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα   alpha limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to  για τα οποία ισχύει ότι  left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| - 2left| { beta limits^ to } right|

Α.   Να αποδειχτεί ότι   alpha limits^ to uparrow uparrow beta limits^ to . 

Β.   Αν   alpha limits^ to = lambda beta limits^ to   να αποδειχτεί ότι  lambda ge 2. 

Γ.   Να αποδειχτεί ότι  left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| + 2left| { beta limits^ to } right|. 

Δ.   Αν οι αριθμοί  left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right|,,,kappa alpha iota ,,,left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right|   είναι λύσεις της εξίσωσης   {x^2} - left( {left| { alpha limits^ to } right| + 1} right)x + 12{ beta limits^ to ^2} = 0

      να υπολογιστούν :  left| { alpha limits^ to } right|,,,,left| { beta limits^ to } right|.