eMath:a - Αρχική

10. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Δημοσιεύθηκε : Τετάρτη, 07 Οκτωβρίου 2015 11:22 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Συναρτήσεις Βασικά

Δίνονται οι συναρτήσεις $phi left( x right) = sqrt x + {e^{sqrt x }} - 1,,,,x in left[ {0, + infty } right)$ και $gleft( x right) = 1 - {e^{sqrt x }},,,,x in left[ {0, + infty } right)$

Α. Να αποδειχτεί ότι $g$ 1-1

Β. Να αποδειχτεί ότι ${g^{ - 1}}left( x right) = {ln ^2}left( {1 - x} right),,,,forall x le 0$

Γ. Αν $fleft( x right) = phi left( {{g^{ - 1}}left( x right)} right),,,,forall x le 0$

1. Να αποδειχτεί ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα

2. Να υπολογιστεί η τιμή ${f^{ - 1}}left( e right)$

3. Να λυθεί η εξίσωση ${f^{ - 1}}left( {1 - x} right) = x$

9. Γ΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συναρτήσεις

Δημοσιεύθηκε : Τετάρτη, 07 Οκτωβρίου 2015 11:16 Γονική Κατηγορία: Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Συναρτήσεις Βασικά

Δίνεται η συνάρτηση $gleft( x right) = {e^{ - x}} - x,,,,forall x in R$ .

Α. Να αποδειχτεί ότι είναι γνησίως φθίνουσα

Β. Να αποδειχτεί ότι $1 \in g\left( R \right)$

Γ. Να λυθεί η εξίσωση ${g^{ - 1}}left( x right) = 1 - x$

Δ. Για την συνάρτηση $f$ ισχύει ότι ${e^{fleft( x right)}} = frac{1}{{fleft( x right) + {e^x} + 1}},,,,forall x in mathbb{R}$

1. Να αποδειχτεί ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα

2. Να αποδειχτεί ότι $f\left( 1 \right) = - 1$

3. Να βρείτε την ${f^{ - 1}}$

16. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δημοσιεύθηκε : Πέμπτη, 11 Ιουνίου 2015 21:30 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Διανύσματα

Δίνονται τα διανύσματα $alpha limits^ to = left( {x,y} right),,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to = left( {x - y,x + y} right),,,,x,y in R$ .

Αν ισχύει $\alpha \limits^ \to \beta \limits^ \to = 1$

Α. Να δειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to - beta limits^ to } right|$ .

Β. Να υπολογιστούν οι γωνίες $left( { alpha limits^ to ,,,,, beta limits^ to } right)$ και $,left( { alpha limits^ to ,,,,,,, alpha limits^ to - beta limits^ to } right)$ .

Γ. Αν η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα $\alpha \limits^ \to$ με τον ημιάξονα Οx είναι 135^ο να υπολογιστούν

οι συντεταγμένες των διανυσμάτων $\alpha \limits^ \to \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to$

15. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Συντεταγμένες διανύσματος

Δημοσιεύθηκε : Πέμπτη, 11 Ιουνίου 2015 21:20 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Διανύσματα

Δίνονται τα διανύσματα

$alpha limits^ to = left( {kappa - lambda ,,,lambda - kappa + 1} right),$ και $beta limits^ to = left( {2kappa + lambda ,,,lambda + 2} right),,,,kappa ,lambda in R$ .

Αν $left| { alpha limits^ to } right| = 1$

Α. Να αποδείξετε ότι $alpha limits^ to = left( {0,1} right),$ ή $, alpha limits^ to = left( {1,0} right)$ .

Β. Αν επιπλέον $\beta \limits^ \to //\, \alpha \limits^ \to$ να βρεθεί το διάνυσμα $\beta \limits^ \to$ .

14. Β΄Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Δημοσιεύθηκε : Πέμπτη, 11 Ιουνίου 2015 21:12 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Διανύσματα

Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα $\alpha \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to$ για τα οποία ισχύει ότι $left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| - 2left| { beta limits^ to } right|$

Α. Να αποδειχτεί ότι $\alpha \limits^ \to \uparrow \uparrow \beta \limits^ \to$ .

Β. Αν $\alpha \limits^ \to = \lambda \beta \limits^ \to$ να αποδειχτεί ότι $\lambda \ge 2$ .

Γ. Να αποδειχτεί ότι $left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right| = left| { alpha limits^ to } right| + 2left| { beta limits^ to } right|$ .

Δ. Αν οι αριθμοί $left| { alpha limits^ to - 2 beta limits^ to } right|,,,kappa alpha iota ,,,left| { alpha limits^ to + 2 beta limits^ to } right|$ είναι λύσεις της εξίσωσης ${x^2} - left( {left| { alpha limits^ to } right| + 1} right)x + 12{ beta limits^ to ^2} = 0$

να υπολογιστούν : $left| { alpha limits^ to } right|,,,,left| { beta limits^ to } right|$ .

Σελίδα 15 από 45