eMath:a - Αρχική

15. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Δημοσιεύθηκε : Πέμπτη, 11 Ιουνίου 2015 20:42 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $fleft( x right) = ln x cdot ln left( {frac{alpha }{x}} right),,,,x > 0,,,kappa alpha iota ,,,alpha > 1$ .

Α. Να δείξετε ότι $fleft( x right) = - {ln ^2}x + ln alpha ,, cdot ,,ln x,,,,forall x > 0$ .

Β. Να δείξετε ότι $fleft( x right) = fleft( {frac{alpha }{x}} right),,,,forall x > 0$ .

Γ. Λύστε την εξίσωση ${e^{2fleft( x right)}} + 1 = 2{e^{fleft( {frac{alpha }{x}} right)}}$ .

Δ. Να λύσετε την ανίσωση $fleft( x right) ge ln left( {frac{alpha }{x}} right)$ .

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Δημοσιεύθηκε : Πέμπτη, 11 Ιουνίου 2015 16:12 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Πολυώνυμα

Δίνεται το πολυώνυμο $Pleft( x right) = {x^3} + left( {alpha + 1} right){x^2} + left( {alpha + beta } right)x + beta + 1$ με $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ .

Α. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης $P\left( x \right):\left( {x + 1} \right)$ .

Β. Αν ισχύει $beta > frac{{{alpha ^2}}}{4}$ να λύσετε την εξίσωση $P\left( x \right) = 1$ .

Γ. Αν υπάρχει $\rho > 0$ ώστε $P\left( \rho \right) < 0$ να δείξετε ότι $beta < frac{{{alpha ^2}}}{4}$ .

Δ. Αν ισχύουν $P\left( 1 \right) = - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,P\left( 0 \right) = - 3$ να δείξετε ότι $Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 2x - 3$ .

7. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Δημοσιεύθηκε : Τετάρτη, 27 Μαϊος 2015 18:20 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Κύκλος

Δίνονται τα διανύσματα $\alpha \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to$ που σχηματίζουν γωνία $\varphi$ και η εξίσωση

$C:{x^2} + {y^2} + 2x,sigma upsilon nu varphi - 4y,eta mu varphi + 3eta {mu ^2}varphi + sigma upsilon nu varphi = 0$

Α. Αν η εξίσωση C παριστάνει σημείο να αποδειχτεί ότι $\alpha \limits^ \to \uparrow \uparrow \beta \limits^ \to$

Β. Αν τα διανύσματα $\alpha \limits^ \to \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\, \beta \limits^ \to$ δεν είναι ομόρροπα

1. Να δειχτεί ότι η εξίσωση C παριστάνει κύκλο

2. Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου

3. Αν επιπλέον η ευθεία $\varepsilon : - x\sigma \upsilon \nu \varphi + y\eta \mu \varphi + \sqrt 2 - 1 = 0$

εφάπτεται του κύκλου C να αποδειχτεί ότι

α. $eta {mu ^2}varphi = sqrt {1 - sigma upsilon nu varphi } - sqrt 2$

β. $\alpha \limits^ \to \uparrow \downarrow \beta \limits^ \to$

6. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Δημοσιεύθηκε : Παρασκευή, 03 Απριλίου 2015 11:57 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Κατεύθυνσης Κατηγορία: Κύκλος

Δίνονται οι κύκλοι $C:{x^2} + {y^2} + mu x - mu y + 2mu - 2 = 0,,,,mu in R$

Α. Να αποδειχτεί ότι $\mu \in \left( { - \infty ,2} \right) \cup \left( {2, + \infty } \right)$

Β. Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ για κάθε $\mu \in \left( { - \infty ,2} \right) \cup \left( {2, + \infty } \right)$

Γ. Να αποδειχτεί ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο.

Δ. Να βρεθεί ο κύκλος του οποίου το κέντρο Κ σχηματίζει με το ${\rm A}\left( {0,1} \right)$

και την αρχή των αξόνων Ο ορθογώνιο τρίγωνο στο Κ.

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Δημοσιεύθηκε : Τετάρτη, 01 Απριλίου 2015 11:51 Γονική Κατηγορία: Β Λυκείου Γενικής Κατηγορία: Πολυώνυμα

Δίνεται το πολυώνυμο $fleft( x right) = alpha {x^5} + x - beta ,,,,alpha ,beta in R$ .

Το $f\left( x \right)$ έχει ρίζα τον $\rho = 1$ και η γραφική του παράσταση περνάει από το σημείο ${\rm A}\left( { - 1\,, - \,4} \right)$ .

Α. Δείξτε ότι: $\alpha = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta = 2$ .

Β. Δείξτε ότι: $f$ γνησίως αύξουσα στο R .

Γ. Αν $Qleft( x right) = {x^6} - 2{x^5} + {x^2} - 4x + 4$ τότε :

1. Να δειχτεί ότι: $x - 2$ παράγοντας του $Q\left( x \right)$

2. Να λυθεί η ανίσωση $Q\left( x \right) \ge 0$ .

Σελίδα 16 από 45