15. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθμική Συνάρτηση

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο   fleft( x right) = ln x cdot ln left( {frac{alpha }{x}} right),,,,x > 0,,,kappa alpha iota ,,,alpha > 1. 

Α.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) = - {ln ^2}x + ln alpha ,, cdot ,,ln x,,,,forall x > 0. 

Β.   Να δείξετε ότι  fleft( x right) = fleft( {frac{alpha }{x}} right),,,,forall x > 0. 

Γ.   Λύστε την εξίσωση   {e^{2fleft( x right)}} + 1 = 2{e^{fleft( {frac{alpha }{x}} right)}}. 

Δ.   Να λύσετε την ανίσωση   fleft( x right) ge ln left( {frac{alpha }{x}} right).

 

9. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται το πολυώνυμο  Pleft( x right) = {x^3} + left( {alpha + 1} right){x^2} + left( {alpha + beta } right)x + beta + 1  με  alpha ,beta in mathbb{R}.

Α.   Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης  Pleft( x right):left( {x + 1} right).

Β.   Αν ισχύει  beta > frac{{{alpha ^2}}}{4}  να λύσετε την εξίσωση  Pleft( x right) = 1.

Γ.   Αν υπάρχει  rho > 0  ώστε  Pleft( rho right) < 0  να δείξετε ότι  beta < frac{{{alpha ^2}}}{4}.

Δ.   Αν ισχύουν  Pleft( 1 right) = - 1,,,kappa alpha iota ,,,Pleft( 0 right) = - 3  να δείξετε ότι   Pleft( x right) = {x^3} + 3{x^2} - 2x - 3.

7. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνονται τα διανύσματα   alpha limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to   που σχηματίζουν γωνία  varphi   και η εξίσωση

C:{x^2} + {y^2} + 2x,sigma upsilon nu varphi - 4y,eta mu varphi + 3eta {mu ^2}varphi + sigma upsilon nu varphi = 0

Α.   Αν η εξίσωση C παριστάνει σημείο να αποδειχτεί ότι   alpha limits^ to uparrow uparrow beta limits^ to

Β.   Αν τα διανύσματα   alpha limits^ to ,,,kappa alpha iota ,,, beta limits^ to    δεν είναι ομόρροπα

   1.   Να δειχτεί ότι  η εξίσωση C παριστάνει κύκλο

   2.   Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ του κύκλου

   3.   Αν επιπλέον η ευθεία varepsilon : - xsigma upsilon nu varphi + yeta mu varphi + sqrt 2 - 1 = 0

        εφάπτεται του κύκλου  C  να αποδειχτεί ότι

      α.   eta {mu ^2}varphi = sqrt {1 - sigma upsilon nu varphi } - sqrt 2

      β.    alpha limits^ to uparrow downarrow beta limits^ to

 

6. Β΄ Λυκείου/ Κατεύθυνση/ Κύκλος

Κύκλος

Δίνονται οι κύκλοι   C:{x^2} + {y^2} + mu x - mu y + 2mu - 2 = 0,,,,mu in R

Α.   Να αποδειχτεί ότι  mu in left( { - infty ,2} right) cup left( {2, + infty } right)

Β.   Να βρεθούν το κέντρο Κ και η ακτίνα ρ για κάθε  mu in left( { - infty ,2} right) cup left( {2, + infty } right)

Γ.   Να αποδειχτεί ότι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο.

Δ.   Να βρεθεί ο κύκλος του οποίου το κέντρο Κ σχηματίζει με το  {rm A}left( {0,1} right)

      και την αρχή των αξόνων Ο ορθογώνιο τρίγωνο στο Κ.

 

8. Β΄ Λυκείου/ Γενικής/ Πολυώνυμα

Πολυώνυμα

Δίνεται το πολυώνυμο  fleft( x right) = alpha {x^5} + x - beta ,,,,alpha ,beta in R.

Το  fleft( x right)  έχει ρίζα τον  rho = 1  και η γραφική του παράσταση περνάει από το σημείο  {rm A}left( { - 1,, - ,4} right). 

Α.   Δείξτε ότι:  alpha = 1,,,kappa alpha iota ,,,beta = 2.

Β.   Δείξτε ότι:  f  γνησίως αύξουσα στο R .

Γ.   Αν  Qleft( x right) = {x^6} - 2{x^5} + {x^2} - 4x + 4  τότε :

   1.   Να δειχτεί ότι:  x - 2  παράγοντας του  Qleft( x right)

   2.   Να λυθεί η ανίσωση   Qleft( x right) ge 0.