Α. Μελετήστε την μονοτονία της
Β. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο .
Δίνεται και η συνάρτηση
1. Να αποδειχτεί ότι
Αν επιπλέον και να αποδειχτεί ότι
2.
3.
4. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Α. Μελετήστε την μονοτονία της
Β. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο .
Δίνεται και η συνάρτηση
1. Να αποδειχτεί ότι
Αν επιπλέον και να αποδειχτεί ότι
2.
3.
4. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Δίνεται η παραγωγίσιμη και 1-1 συνάρτηση με .
Δίνεται και η συνάρτηση με .
Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της .
Β. Να αποδειχτεί ότι
1. .
2.
Α. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα
1.
2.
Β. Δίνεται η συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με
. Αν
1. να αποδειχτεί ότι
2. Για κάθε να δειχτεί ότι υπάρχει
Δίνονται οι συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με
και
Α. Να αποδειχτεί ότι
1.
2.
Β. Αν επιπλέον
1. Να αποδειχτεί ότι
2. Για κάθε δείξτε ότι
Δίνεται η εξίσωση
Α. Να δειχτεί ότι οι λύσεις της ανίσωσης
είναι
Β. Αν η εξίσωση (1) έχει δύο άνισες λύσεις να βρεθούν οι δυνατές τιμές του λ.
Γ. Αν η εξίσωση (1) έχει λύσεις με γινόμενο να βρεθούν οι δυνατές
τιμές του λ.